10’000 mal Prozentsatz berechnen!

So viele Personen suchen jeden Monat bei Google Hilfe zur Berechnung des Prozentsatzes.

Dir und all den anderen möchte ich hier erklären, was ein Prozentsatz überhaupt ist und wie du diesen leicht berechnen kannst. Möchtest du das ganze Gebiet der Prozentrechnung besser verstehen, solltest du unbedingt den ausführlichen Artikel Prozentrechnung – Die Grundlagen im Prozentrechnen einfach erklärt lesen.

Meine Erfahrung als Mathematik- und Physiklehrperson hat gezeigt, dass es immer einfacher ist, am konkreten Beispiel zu lernen. Hier also die folgende interessante Frage:

Eisberge schwimmen im Wasser. Dabei befindet sich der grösste Teil der Eismasse unter Wasser und nur ein kleiner Teil ragt über der Wasseroberfläche heraus. Von einem solchen Eisberg wissen wir, dass er ein gesamtes Volumen von 1800 m³ hat. Das Volumen unter der Wasseroberfläche ist 1602 m³. Wie viel Prozent des Eisbergs befindet sich unter Wasser? 

Gesucht in der Aufgabe ist der Prozentsatz. Ich zeige dir im Folgenden, wie du den gesuchten Prozentsatz auf 4 verschiedene Arten berechnen kannst:

1. Berechnen mit den Prozentformeln
2. Die Lösung mit einem Dreisatz
3. Der geniale Weg mit einem Bruch
4. Mit Hilfe meines Online Prozentrechners

Aber bevor wir drauf los rechnen, klären wir ein paar Begriffe.

Begriffsklärung

Es herrscht nämlich allgemeine Verwirrung, wenn es um die Begriffe Prozentsatz, Prozentzahl und Prozentfuss geht.

Merke dir:

Genau genommen ist der Prozentsatz p% eine Dezimalzahl. Weshalb? Der Begriff “Prozent” stammt aus dem Lateinischen und bedeutet “pro Hundert”. Jedes Prozentzeichen “%” lässt sich ersetzen mit den Worten “pro Hundert” was gleichbedeutend ist mit einer Division durch 100. 1% ist demnach dasselbe wie 1 pro Hundert oder eben 1:100 (Ein Hundertstel) was gleich viel ist wie 0.01.

Ein paar Beispiele verdeutlichen das:

30% sind 30 pro 100, resp. 30:100. 30% steht also für die Dezimalzahl 0.3
100% sind 100 pro 100 oder eben 100:100=1. 100% steht für die Zahl 1.
25% sind 25 pro 100. Das ergibt ausgerechnet 25:100 oder 0.25.

Meint man bei einer Angabe von 25% wirklich nur die Zahl “25”, spricht man von der sog. Prozentzahl p (ohne das Prozentzeichen) oder dem sog. Prozentfuss. Wenn du also die Prozentzahl in einer Aufgabe berechnen möchtest, musst du den Prozentsatz noch mit 100 multiplizieren.

 Lass uns jetzt den Prozentsatz berechnen:

1. Prozentsatz berechnen mit der Formel

Um den Prozentsatz zu bestimmen, rechnest du den Prozentwert W geteilt durch den Grundwert G. Bei dieser Rechnung bekommst du als Resultat eine Dezimalzahl:

oder direkt die Prozentzahl p:

Für unsere Eisberg-Aufgabe bedeutet das: Das gesamte Eisbergvolumen entspricht dem Grundwert. Es ist also G = 1800 m³. Das Volumen unter Wasser ist der Prozentwert. Es ist W = 1602 m³.

Mit der Formel rechnest du: $${\sf p\% = \frac{\textrm{W}}{\textrm{G}}=\frac{1602}{1800}}=\textrm{0.89}.$$ 

Der Prozentsatz beträgt 89%. So viel Prozent des Eisbergs befinden sich unter Wasser!

2. Prozentsatz ausrechnen mit einem Dreisatz

Mit dem Dreisatz überlegst du dir folgendes:

Hundert Prozent entsprechen dem Gesamtvolumen von 1800 m^3:

$${\sf {\textrm{100%}\quad \hat{=}\quad\textrm{1800 m}^3}}$$

Wenn du auf beiden Seiten durch 1800 teilst, bekommst du die Prozentzahl, die einem Volumen von 1 m³ entspricht. Erklärung: 1 m³ ist 1800 mal weniger als das Gesamtvolumen. Das gleiche gilt für die Prozentzahl. Diese ist ebenfalls 1800 mal kleiner als 100%:

$${\sf {\frac{\textrm{100}}{\textrm{1800}}\% \quad \hat{=}\quad\textrm{1 m}^3}}$$

ausgerechnet gibt das:

$${\sf {\textrm{0.05556%}\quad \hat{=}\quad\textrm{1 m}^3}}$$

Weil du wissen willst, wie viel 1602 m³ ist, multiplizierst du beide Seiten mit 1602 und bekommst:

$${\sf {\textrm{89%}\quad \hat{=}\quad\textrm{1602 m}^3}}$$

Auch mit der Dreisatzrechnung findest du heraus, dass das Volumen unter Wasser 89% entspricht.

3. Prozentsatz berechnen mit einem Bruch

Lass mich ein ganz einfaches Beispiel machen: In einer Gruppe von 20 Personen sind heute 10 Leute krank. Wie viel Prozent sind das?

Bei dieser Aufgabe ist ebenfalls der Prozentsatz gesucht. Selbstverständlich können wir diesen mit einem Dreisatz oder der Formel ausrechnen. Ich möchte dir hier aber etwas anderes zeigen. Wenn 10 der 20 Personen krank sind, entspricht dies einem Verhältnis von 10:20 oder als Bruch geschrieben: $$\frac{10}{20}$$. Hinweis: Jedes Divisionszeichen (:) lässt sich jederzeit als Bruchstrich (-) schreiben und umgekehrt.

Kürzt du diesen Bruch mit 10 bekommst du: $$\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=0.5$$

0.5 ist aber das gleiche wie 50%. Offensichtlich sind 50% der Leute krank.

Merke dir:

Musst du in einer Aufgabe den Prozentsatz p% berechnen, kannst du einfach das Verhältnis zwischen Prozentwert und Grundwert bilden. Teile dazu den Prozentwert durch den Grundwert.

Dir ist sicher aufgefallen, dass das Bilden eines solchen Verhältnisses genau der Formel für den Prozentsatz entspricht: $$\textrm{p%}=\frac{\textrm{W}}{\textrm{G}}$$

In unserer Eisbergaufgabe bedeutet dies: Du bildest das Verhältnis der 1602 m³ unter Wasser zu den 1800 m³ Gesamtvolumen: $$\frac{1602}{1800}=0.89=89\%$$

Zu guter Letzt zeige ich dir noch die Rechenmethode, die kein Verständnis von Prozentrechnen voraussetzt. Diese Methode ist für all jene, die nur schnell was ausrechnen wollen und die Frage nach dem “weshalb” gar nicht stellen:

4. Prozentsatz berechnen mit dem Online Prozentrechner

Einfach nur ausrechnen. Das kannst du mit meinem Online Prozentrechner kinderleicht tun:

Falls du andere Prozentgrössen ebenfalls online berechnen möchtest, findest hier Hilfe: Online Prozentrechner

Beispiele Prozentsatz berechnen

Versuche das eben Gelesene und Gelernte zu üben. Bei den folgenden drei Beispielen ist jeweils der Prozentsatz gesucht. Rechne diesen doch auf verschiedene Arten aus und kontrolliere, ob du alles richtig verstanden hast.

Beispiel 1:

Du verdienst im Monat einen Lohn von 2’400 €. Weil dein Chef mit deiner Arbeit zufrieden ist, erhältst du eine Lohnerhöhung von 300 €. Wie viel Prozent Lohnerhöhung sind das?

Lösung:
Die Gesamtheit resp. der Grundwert G sind die 2’400 € Lohn. Die 300 € Lohnerhöhung entsprechen dem Prozentwert W. Du willst also wissen, wie gross der Anteil der 300 € an den 2’400 € ist. Dazu rechnest du:
Prozentsatz p% = W/G = 300/2’400 = 0.125. Multiplikation mit 100 ergibt die Prozentzahl 12.5. Deine Lohnerhöhung beträgt demnach 12.5%.

Beispiel 2:

In der Abbildung unten siehst du 16 Personen, die in einer Reihe stehen. Wie viel Prozent…

1. … der abgebildeten Personen sind Männer?
2. … der Frauen tragen lange Hosen?
3. … der Personen verschränken ihre Arme nicht?

Lösung:

1. Insgesamt hat es 16 Personen abgebildet. Diese Zahl entspricht dem Grundwert G. Die 10 abgebildeten Männer sind der Prozentwert. Um den Prozentsatz zu berechnen, teilt man Prozentwert durch Grundwert: p% = W/G = 0.625. 62.5 Prozent der Personen sind demnach Männer.
2. Frauen hat es 6 im Bild (Grundwert). Von diesen sechs Frauen tragen 3 Frauen lange Hosen (Prozentwert). Der Prozentsatz beträgt: p% = W/G = 3/6 = 0.5. 50% der Frauen tragen lange Hosen.
3. Es gibt genau 2 Personen (Prozentwert) von den 16 Leuten (Grundwert), die die Arme nicht verschränken. Das sind p% = W/G = 0.125 oder 12.5%.

Beispiel 3:

Auf dem Bild sind 7 Sportler abgebildet. Wie viel Prozent…

1. … der Sportler haben einen Schläger in der Hand?
2. … der abgebildeten Personen halten in ihrer Hand einen Ball?
3. … der Sportler mit einem Helm auf dem Kopf tragen Schuhe mit Kufen?

Lösung:

1. Die 7 Personen bilden den Grundwert G. 3 Sportler halten einen Schläger in der Hand (Prozentwert). Der Anteil der 3 Personen an der Gesamtheit von 7 beträgt: W/G = 3/7 = 0.428. Damit haben 42.8% der Sportler einen Schläger in der Hand.
2. 2 der 7 Sportler halten einen Ball in der Hand. Die Prozentzahl berechnet sich gemäss Formel: p% = W/G * 100 = 2/7 * 100 = 28.5 oder eben 28.5%.
3. Im Bild gibt es 3 Sportler mit einem Helm auf dem Kopf. Das ist der Grundwert G. Von diesen 3 Sportlern trägt 1Person (W) Schuhe mit Kufen (der Hockey-Spieler). Der Prozentsatz berechnet sich folgendermassen: p% = W/G = 1/3 = 0.333. 33.3% der Sportler mit Helm tragen demnach Schuhe mit Kufen.