Machen wir einen Test zum Thema Prozentrechnen.

“25% aller Jugendlichen hatten in den letzten beiden Jahren Läuse auf dem Kopf. In deiner Klasse hat es 28 Personen. Wie viele waren vom Läusebefall betroffen?”

Suchst du gerade die richtige Formel für diese Rechnung?

Fragst du dich, was hier Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert sind? Möchtest du zur Formelsammlung und dem Taschenrechner greifen?

Falls ja, bist du einer von denen!

Einer von denen, die sich an die Formeln klammern: Du suchst dir die richtige Formel heraus und setzt alle Angaben aus der Aufgabe ein und hoffst, dass das richtige Resultat heraus kommt. Leider hat das wenig mit Verständnis zu tun. Du beherrschst das Prozentrechnen nicht, du bist vielmehr ein Sklave deiner Formel.

Du bist mit dieser Methode zufrieden? Dann lies auf keinen Fall weiter! Spar dir die Zeit. Verwende lieber meinen Online-Prozentrechner für deine Aufgaben.

Denn in den folgenden Zeilen erkläre ich dir, was Prozentrechnen bedeutet und wie du es anschaulich verstehen kannst. Die Eingangsaufgabe mit den Läusen wirst du kinderleicht ohne Formeln lösen können.

Das Problem beim Prozentrechnen

Ich erlebe es jeden Tag.

Wenn meine erwachsenen Schülerinnen und Schüler Prozentrechnen müssen, holen sie in der Regel die Formel-Keule hervor und schlagen ein paar mal wild um sich und hoffen dann, einen Treffer gelandet zu haben.

Das Problem bei dieser Methode: Formeln anwenden kann man ohne viel verstanden zu haben!

Wenn die gestellte Aufgabe nur ein wenig anders formuliert ist als gewohnt oder wenn du eine Weile nicht geübt hast, dann geht in der Regel gar nichts mehr.

Du beginnst bei jeder neuen Aufgabe von vorne!

Genau so, wie der berühmte Sisyphos aus der griechischen Sage, der als Strafe einen Stein den Berg hinauf rollen musste und jedes mal bevor er oben ankommt wieder nach unten rollt und die ganz Arbeit von vorne beginnt.

Prozentrechnen ohne Formeln

Befragt man 100 Personen nach ihren Essensvorlieben, geben 91 Personen an, dass sie Pizza mögen. 91 von 100 Leuten oder 91 pro 100 Personen, respektiv 91 “per cento” (italienisch für pro Hundert) d.h. 91 “Pro-Zent” oder eben 91% mögen Pizza.

Jedes Prozent-Zeichen (%) steht abkürzend für die Wörter „pro Hundert“.

Wenn man das weiss, vereinfacht sich das Prozentrechnen deutlich.

Ein Beispiel gefällig?

Rund 20% der Menschen shoppen regelmässig online. Das bedeutet demnach, dass 20 pro 100 Personen regelmässig online einkaufen gehen. In der folgenden Abbildung ist das dargestellt, indem 20 von 100 Kästchen grau eingefärbt sind.

Wenn 20 von 100 Personen online einkaufen, wie viele Online-Käufer hat es dann in einem Verein mit 25 Personen?

Die Frage ist also: Wie viel sind 20% von 25 Personen?

Wir rechnen die Gruppengrösse von Hundert Personen runter auf 25 Personen: Wenn 20 pro 100 Personen online shoppen, dann tun dies ebenfalls 10 pro 50 Personen. Diese Aussage lässt sich wiederum mit Kästchen illustrieren: 10 graue Kästchen pro 50 ist dasselbe wie 20 Graue pro 100 Kästchen.

Verkleinern wir die Gruppengrösse ein weiteres mal auf 25 Personen, dann stellen wir fest, dass 5 von jeweils 25 Personen online einkaufen. Dies ist genau gleich viel wie 20 pro 100. Oder nochmals in anderen Worten: 5 graue Kästchen pro 25 Felder ist genau gleich viel wie 20 graue Kästchen pro 100 Felder!

Bitte merke dir:

Ganz allgemein kann man sagen: Um den Anteil in einer neuen Gruppengrösse zu bestimmen, teilt man beide Zahlen durch die gleiche Anzahl.

In unserem Beispiel hiess das: 20 pro 100 ist das gleiche wie 5 pro 25. Wir haben beide Zahlen durch 5 geteilt.

Die Lösung unserer Aufgabe ist also:

20% von 25 sind 5 Personen.

Nocheinmal: 5 von 25 ist dasselbe wie 10 von 50 und das ist wiederum dasselbe wie 20 von 100!

In der Sprache der eingefärbten Kästchen: Eine Prozentzahl sagt immer aus, wie viele Kästchen pro 100 Kästchen grau eingefärbt sind.

Die Aufgabe: “Wie viel sind 20% von 25?” kann man demnach folgendermassen verstehen: “Wenn 20 pro 100 Kästchen grau sind, wie viele Graue hat es dann pro 25 Kästchen?”

Der Super-Trick: Die Gruppe bestehend aus 1 Person

Das Vorgehen in obigem Beispiel hat einen Haken!

Die Zahlen gehen nicht immer so schön auf wie bei “20% von 25”. Die 100 Kästchen konnten wir ganz leicht auf 25 Kästchen runter rechnen (durch Teilen durch 4). Bei anderen Zahlen geht das nicht immer so schön auf. Wie man in einem solchen Fall vorgehen muss, soll an unserem “Läuse-Beispiel” erkärt werden:

25% von 28 Personen haben Läuse. Wie viele Personen sind das?

Der Trick hier ist, dass wir eine “Gruppe” betrachten, die aus nur 1 Person besteht. Wir berechnen dann, wie viele Laus-Köpfe es anteilmässig in dieser 1er-Gruppe hat. Das klingt im ersten Moment komisch, ist aber – wie wir sehen werden – sehr nützlich:

25 pro 100 Personen hatten Läuse (25%). Das bedeutet, dass 5 pro 20 (beiden Zahlen  durch 5 teilen) oder 1 pro 4 Personen Läuse auf dem Kopf hatten (nochmals beide Zahlen durch 5 teilen).

Wenn  also 1 pro 4 Personen Läuse haben, dann hätten 0.5 Personen pro 2 Personen Läuse oder 0.25 pro 1 Person. Das untenstehende Bild mit den Kästchen illustriert dies: 0.25 graue Fläche pro Kästchen gibt gleich viel wie 25 ganz graue gefärbte Flächen pro 100 Kästchen.

Wir finden also heraus, dass es anteilsmässig 0.25 befallene Köpfe pro 1 Person gibt. Ausgehend davon können wir auf jede beliebige Gruppengrösse hochrechnen!

Wir wollten ursprünglich wissen, wie viele von den 28 Personen Läuse haben. Wenn es unter 1 Person 0.25 befallene Köpfe gibt, so hat es bei 28 Personen 28 mal so viel Lausbefälle. 28 mal 0.25 geben wir entweder im Rechner ein oder erkennen, dass dies dasselbe ist wie 28 mal 1/4 (ein Viertel). In beiden Fällen erhalten wir als Resultat 7.

25% von 28 Personen sind also 7 Personen mit Lausbefall.

Merke dir:

Wenn man weiss, wie gross der Anteil in einer Gruppengrösse von 1 ist, kann man diesen Anteil durch Multiplikation auf eine beliebige Gruppengrösse hochrechnen.

Prozentrechnen – Das Rezept

Natürlich möchte ich dir noch eine Anleitung mitgeben, wie du das eben gehörte schnell und einfach in der Praxis anwenden kannst.

Wir nehmen dazu nochmals das Lausbeispiel hervor. Um auszurechnen, wie viel 25% von 28 sind, müssen wir zuerst den Anteil in einer Gruppe bestehend aus 1 Person kennen. Dazu teilen wir die Prozentzahl ganz einfach durch 100. 25 pro 100 sind 0.25 pro 1 Person. Begründung: In einer 1er-Gruppe hat es immer 100mal weniger als in einer Gruppe mit 100.

Merke dir:

Um den Anteil in einer Gruppe bestehend aus 1 zu erhalten, muss die Prozentzahl ganz einfach durch 100 geteilt werden. Dieser Anteil wird dann mit der in der Aufgabe betrachteten Gruppengrösse multipliziert.

Alles klar?

Um sicher zu gehen, dass du das zu 100% richtig verstanden hast, machen wir noch ein Beispiel:

Wie viel sind 30% von 20?

30 pro 100 ist das gleiche wie 0.3 pro 1. Durch Teilen durch 100 haben wir sofort den Anteil in 1 erhalten. Wir multiplizieren 0.3 mit der betrachteten Gruppengrösse von 20 und erhalten dabei 6.

30% von 20 sind demnach 6.

Ging doch ganz leicht, oder?

Prozentrechnen – Wie weiter?

Die in diesem Artikel gemachten Überlegungen und Erklärungen sind elementar und wichtig für das Verständnis des Prozentrechnens.

Es gibt aber tatsächlich Methoden, die solche Berechnungen schneller und damit praxistauglicher machen.

Eine Einführung in die Prozentrechnung mit den Prozentformeln gebe ich dir hier: Prozentrechnung – Die Grundlagen im Prozentrechnen einfach erklärt

Egal mit welcher Methode du Prozentaufgaben lösen wirst; An der einfachen aber wahren Volksweisheit “Übung macht den Meister” kommst du nicht vorbei. Wenn du ein wenig mehr über die Bedeutung vom Üben lesen willst, empfehle ich dir meinen Artikel: