zu begreifen. Dazu Schauen wir uns die Graphen der Funktionen an, welche in dieser Gleichung vorkommen. Die Idee ist vor allem mit visualisieren auf die Anzahl Lösungen oder auch auf die Konkreten Werte zu kommen.
Richtig
Falsch
Frage 2 von 14
2. Frage
Die Funktionen vom Typ
haben je nach dem ob n gerade oder ungerade ist verschiedenes Aussehen und verschiedene Symmetrien.
Elemente sortieren
gerader kleiner Exponent, z.B. x^2
ungerader kleiner Exponent, z.B. x^3
gerader grosser Exponent, z.B x^8
ungerader grosser Exponent, z.B x^9
Richtig
Falsch
Frage 3 von 14
3. Frage
Das bedeutet, alle Potenzfunktionen mit
Elemente sortieren
… achsensymmetrisch zur y-Achse
… punktsymmetrisch zum Ursprung (0/0)
geraden Exponenten sind…
ungeraden Exponenten sind…
Richtig
Falsch
Frage 4 von 14
4. Frage
Ebenfalls bekannt sein sollte, dass Gleichungen der Form
alles horizontale Geraden sind. Zum Beispiel:
Elemente sortieren
y = 0
y = 1
y = -3
y = 4
Richtig
Falsch
Frage 5 von 14
5. Frage
Die Tatsache, dass diese Geraden alle parallel zur x-Achse verlaufen kann man auf zwei verschiedene Arten einsehen:
Da die Funktion y=Zahl für alle Einsetzungen von x den gleichen -Wert hat, ist sie horizontal und somit parallel zur -Achse.
Da die Funktion y=Zahl von der allgemeinen Geradengleichung y=ax+b abweicht durch das Fehlen des Terms ax, muss der Wert a, also die der Geraden den Wert haben.
Die Gerade ist somit horizontal, also parallel zur -Achse.
Richtig
Falsch
Frage 6 von 14
6. Frage
Will man nun zum Beispiel die Gleichung
visualisieren, so zeichnet man einfach beide Funktionen
gemeinsam in ein Koordinatensystem.
Die Lösungen der Gleichung
sind die der beiden Funktionen. Sie haben die x-Koordinaten und . Dies sind auch die Lösungen der Gleichung!
Richtig
Falsch
Frage 7 von 14
7. Frage
Hier die Visualisierungen der Gleichungen
Elemente sortieren
Richtig
Falsch
Frage 8 von 14
8. Frage
Da alle Graphen von Potenzfunktionen mit geraden Exponenten ähnlich aussehen, kann man eine Theorie für Gleichungen der Form
entwickeln, falls n eine gerade Zahl ist:
Ist a eine positive Zahl, so hat die Gleichung Lösung(en).
Ist a = 0, so hat die Gleichung Lösung(en), nämlich .
Ist a eine negative Zahl, so hat die Gleichung Lösung(en).
Richtig
Falsch
Frage 9 von 14
9. Frage
Beispielaufgaben für gerade Exponenten:
Elemente sortieren
Richtig
Falsch
Frage 10 von 14
10. Frage
Nun geht es um den Aufgabentyp mit ungeraden Exponenten, also
wobei n ungerade ist.
Für x^3 ergibt sich der Graph
Wie man erkennen kann, hat jede horizontale Gerade genau einen Schnittpunkt mit der Kurve.
Somit haben alle Gleichungen
für ungerade n genau Lösung.
Richtig
Falsch
Frage 11 von 14
11. Frage
Zum visualisieren:
Elemente sortieren
Richtig
Falsch
Frage 12 von 14
12. Frage
Alle folgenden Beispielgleichungen haben somit genau eine Lösung!
Elemente sortieren
Richtig
Falsch
Frage 13 von 14
13. Frage
Somit ist klar wieviele Lösungen jeweils die Gleichung
hat. Es hängt extrem vom Exponenten ab.
Beachte: Es geht dir viel leichter die Lösungen zu finden, wenn du dir die Situation graphisch vorstellen kannst!
Die Gleichung x^3=8 hat Lösung(en).
Die Gleichung x^4=8 hat Lösung(en).
Die Gleichung x^3= -8 hat Lösung(en).
Die Gleichung x^6= -8 hat Lösung(en).
Die Gleichung x^4=8 hat Lösung(en).
Richtig
Falsch
Frage 14 von 14
14. Frage
Ordne als Abschluss der Lernaufgabe die richtigen Lösungen zu!
visualisieren und lösen können, also auch die Idee hinter der Lösung begriffen haben…
