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Prozentrechnung Formeln

Prozentrechnung Formel – Kennst du diese geniale Eselsbrücke?

Prozentrechnung Formeln

Prozentrechnung Formel – Kennst du diese geniale Eselsbrücke?

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Prozentrechnung Formel Esel? Was hat das miteinander zu tun?

Esel sind störrische Viecher. Und Esel benötigen Eselsbrücken. Die Tiere sind nämlich extrem wasserscheu. Selbst kleinste Bäche und Wasserläufe wollen sie nicht durchlaufen, auch wenn ihnen das Wasser kaum über die Hufe reicht. Damit sie auf die andere Seite des Ufers gelangen, müssen für diese Tiere kleine Brücken und Überquerungen errichtet werden. Und diese Brücken für die Esel heissen “Eselsbrücken”.

Daher kommt also der Name: Eselsbrücken helfen, eine schwierige und anspruchsvolle Passage zu packen. Wir verwenden den Begriff meistens im Zusammenhang mit einer “Merkhilfe”.

Und eine solche Merkhilfe erkläre ich dir für die Prozentformeln.

Es ist eine Eselsbrücke, von der im Mathematikunterricht selten bis nie gesprochen wird. Lehrpersonen mögen diese Art von Merkhilfe nicht. Sie ist zu simpel und zu einfach in der Anwendung. Und weil du nichts umformen musst und keine Formeln auswendig büffeln musst,  ist diese Merkhilfe wohl einfach zu wenig „mathematisch“.

Als Mathematiklehrperson gebe ich dir aber folgende Warnung mit: Die Eselsbrücke hilft dir nicht, das Prozentrechnen besser zu verstehen. Sie hilft dir lediglich beim Anwenden der Formeln der Prozentrechnung. Wenn du die Berechnung des Prozentsatzes, Prozentwerts und Grundwerts grundlegend verstehen möchtest, musst du unbedingt diesen Artikel lesen: Prozentrechnung – Die Grundlagen einfach erklärt

Die Prozentformeln – Darum geht’s

Bevor ich dir die Eselsbrücke erkläre, sollst du dir die Prozentformeln in Erinnerung rufen. Je nach Lehrbuch und Mathelehrperson werden diese ein wenig anders formuliert und dargestellt.

Merke dir bitte folgendes:

Unterscheide den Prozentsatz p% gut von der Prozentzahl p. Die Prozentzahl p bezeichnet nur den Zahlenwert (bei 30% ist das die Zahl 30). Beim Prozentsatz p% muss die Prozentzahl immer durch 100 geteilt werden (30% = 0.3).  Der Prozentsatz p% entspricht einer Dezimalzahl!

Weshalb ist das so?

Das Wort “Prozent” heisst übersetzt pro 100. Wenn also beispielsweise von 30% die Rede ist, stehen die 30% für 30 pro Hundert. Das ist aber gleich viel wie 30 Hundertstel oder 30 geteilt durch 100, was 0.3 ergibt. Ein Beispiel soll das verdeutlichen:

Der Wert deiner Aktien hat dieses Jahr um 12% zugenommen.

Die Prozentzahl p entspricht dem Zahlenwert 12, der Prozentsatz 12% entspricht der Dezimalzahl 0.12 (geteilt durch 100). Weshalb ist diese Bemerkung im Zusammenhang mit den Prozentformeln so wichtig?

Merke dir:

In jeder Prozentformel kommt die Zahl „100“ vor. Das Multiplizieren mit oder Dividieren durch 100 wandelt die Prozentzahl lediglich in den Prozentsatz um (und umgekehrt).

Schreibt man eine Prozentformel mit dem Prozentsatz p%, so kommt die Zahl „100“ in der Formel nicht vor. Der Prozentsatz entspricht bereits der Dezimalzahl, also der durch 100 geteilten Prozentzahl.


Prozentwert Formel (W)

Die Formel für den Prozentwert gibt es demnach in zwei Varianten, ausgedrückt mit der Prozentzahl p:

$${\sf {W=\frac{\textrm{p}}{100} \cdot \textrm{G}}}$$

oder direkt ausgedrückt mit dem Prozentsatz p%:

$${\sf {W=\textrm{p%} \cdot \textrm{G}}}$$


Prozentsatz Formel (p%)

Die Prozentzahl p berechnest du folgendermassen:

$${\sf {p=\frac{\textrm{W}}{\textrm{G}} \cdot 100}}$$

oder direkt den Prozentsatz p%:

$${\sf {p\%=\frac{\textrm{W}}{\textrm{G}}}}$$


Grundwert Formel (G)

Die Formel für den Grundwert G lautet geschrieben mit der Prozentzahl p:

$${\sf {G=\frac{\textrm{W}}{\textrm{p}}\cdot 100}}$$

Und formuliert mit dem Prozentsatz p%:

$${\sf {G=\frac{\textrm{W}}{\textrm{p%}}}}$$

Damit haben wir alles zusammen, um die geniale Eselsbrücke zu verstehen.


Prozentrechnung Formel: Die Eselsbrücke

Und so funktioniert die Merkhilfe:

Prozentrechnung Formel

In diesem Dreieck steht W für den Prozentwert, p% für den Prozentsatz (Achtung Dezimalzahl) und G für den Grundwert. Die Anordnung dieser Buchstaben im Dreieck musst du dir gut einprägen: W steht in der Spitze, p% unten links und G unten rechts.

Wie hilft dir dieses Dreieck jetzt bei den Formeln im Prozentrechnen?

Bei jeder Prozentaufgabe ist entweder der Prozentwert, der Prozentsatz oder der Grundwert gesucht.

Merke dir:

Decke im Dreieck mit dem Finger die gesuchte Grösse ab. Der noch sichtbare Teil vom Dreieck sagt dir, wie du die gesuchte Grösse berechnen musst.

Wenn du beispielsweise wissen willst, wie die Formel für den Prozentsatz p% geht, deckst du einfach die untere linke Ecke mit dem p% ab.

Prozentsatz Formel

Der sichtbare Teil im Dreieck ist der Prozentwert W oben in der Spitze und der Grundwert G unten rechts. Der horizontale Balken ist als Bruchstrich (also eine Division) zu lesen.

Für den Prozentsatz p% rechnest du: p% = W/G

Genau gleich gehst du vor, wenn du den Grundwert G berechnen möchtest: Decke mit dem Finger den Buchstaben G ab. Das Dreieck zeigt jetzt noch W/p%. Die Formel lautet damit G=W/p%:

 

Grundwert Formel

Und genau gleich für den Prozentwert W. Deckst du mit dem Finger W ab, so zeigt das Dreieck die korrekte Rechnung: W=p% · G.

Prozentwert Formel

 

Anwendungsbeispiele

Ich zeige dir die kinderleichte Anwendung dieses Dreiecks an ein paar Beispielen:

Beispiel 1:
Ein Kleidungsstück kostet zum regulären Preis 80€ (G) und ist mit 15% (p%) Rabatt beschriftet. Wie viele Euro sparst du?
Lösung: Gesucht ist der Prozentwert W. In einem ersten Schritt schreiben wir den Prozentsatz als Dezimalzahl: p% = 0.15 (15 geteilt durch 100). Du deckst im Dreieck mit dem Finger W ab und liest ab: W = p% ⋅ G = 0.15 ⋅ 80€  = 12€.

Beispiel 2:
40% der Personen (p%) in einer Reisegruppe kaufen ein Ticket für die Bootsfahrt. Es werden 8 Tickets (W) gekauft. Aus wie vielen Personen besteht die Reisegruppe?
Lösung: Gesucht ist der Grundwert G. Auch hier schreiben wir den Prozentsatz zuerst als Dezimalzahl: p% = 0.40. Dann decken wir im Dreieck die gesuchte Grösse G ab und lesen ab: G = W/p%. Das gibt ausgerechnet: G = 8/0.4 = 20. Die Gruppe besteht aus 20 Personen.

Beispiel 3:
Eine Grundstücksfläche ist 800 m2 (G) gross. 300 m2 (W) dürfen nicht überbaut werden. Wie viel Prozent macht das aus?
Lösung: Bei bekanntem Grundwert und Prozentwert soll der Prozentsatz bestimmt werden. Wir decken im Dreieck den Prozentsatz p% ab und lesen ab: p% = W/G. Ausgerechnet ergibt dies: p% = 300/800 = 0.375. Diese Dezimalzahl multiplizieren wir noch mit 100 und erhalten als Resultat die Prozentzahl 37.5.

Prozentformeln Merkhilfe

Wie geht’s weiter?

Willst du die Eselsbrücke als Kopiervorlage (kostenlos) herunterladen? Dann hol dir hier das pdf hier:

 

 

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