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Prozentrechnung

Prozentrechnung – Die Grundlagen einfach erklärt

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Prozentrechnung – Die Grundlagen einfach erklärt

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Der Prozentschock

Lehrer: „80% aller Schüler in dieser Klasse haben keine Ahnung von Prozentrechnung!“ Schüler: „Herr Lehrer, so viele sind wir doch gar nicht!“

Kannst du über diesen Witz schmunzeln?

Dann hast du immerhin eine kleine Ahnung von Prozentrechnung. Das ist nicht selbstverständlich. Weisst du, wie viele Menschen in Google Hilfe zum Thema Prozentrechnung suchen?

Als ich die Zahl zum ersten mal gelesen habe, war ich schockiert. Es sind unglaubliche 1’000 Personen pro Stunde. Das sind rund 15 Hilfeschreie pro Minute oder 350’000 Suchanfragen pro Monat. Offensichtlich können die Wenigsten Prozente ausrechnen.

Auch du bist hier gelandet, weil du in Prozentrechnung wieder fit werden willst. Vielleicht gehst du noch zur Schule oder du machst eine Aus- oder Weiterbildung. Vielleicht bist du ein Elternteil, der seinem Kind bei den Mathematikaufgaben weiterhelfen will.

Auf jeden Fall willst oder musst du wieder fit werden in Prozentrechnung. Du bist genau richtig hier.  Für dich, habe ich diese Einführung geschrieben. Ich will dir die Grundlagen im Prozentrechnen kurz und schmerzlos beibringen. Mir ist egal, ob du in der Mathematik gut oder schlecht warst. Am Ende dieser Seite sollst du die Grundlagen im Rechnen mit Prozenten beherrschen.

Punkt 1: Die Bedeutung von „Prozent“

Der Begriff „Prozent“ stammt aus dem Lateinischen und bedeutet „pro Hundert“ (italienisch: per cento). „Pro Hundert“ ist ein anderer Ausdruck für „Hundertstel“. Hundertstel wiederum ist dasselbe wie „geteilt durch 100“. Damit wird folgendes verständlich:  40% steht für 40 „pro Hundert“ oder 40 „Hundertstel“. Das ist aber gleich viel wie 40:100, was so viel ist wie 0.4. Wenn du das weisst, vereinfacht sich das Prozentrechnen bereits deutlich.

Merke dir:

Eine Prozentzahl gibt immer an, wie viel pro Hundert gemeint ist.

 

Merke dir weiter:

Jede Prozentzahl lässt sich durch Division durch 100 als Dezimalzahl schreiben und jede Dezimalzahl kann durch Multiplikation mit 100 als Prozentzahl geschrieben werden.

Ein paar Beispiele sollen das deutlich machen:

  • 100% ist gleich viel wie 1 (100 geteilt durch 100)
  • 20% ist dasselbe wie 0.2 (20 geteilt durch 100)
  • 75% ist dasselbe wie 0.75 (75 geteilt durch 100)
  • 0.1 ist gleich viel wie 10% (0.1 mal 100)
  • 0.25 ist gleich viel wie 25% (0.25 mal 100)

Das Promille ‰

Neben dem Prozent % ist eine weitere geläufige Abkürzung das Promille ‰. Promille bedeutet „pro Tausend“ (italienisch: per mille). Teile eine Promille-Angabe durch 1000 und du hast die zugehörige Dezimalzahl berechnet: 2‰ als Dezimalzahl ist 0.002.

Alles klar?

Sehr gut, dann kannst du die folgenden 5 Fragen sicher alle richtig beantworten:

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Punkt 2: Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert

In jeder Prozentaufgabe geht es um einen Anteil, der an einer Gesamtheit gemessen wird. Lass mich dazu ein Beispiel machen:

An einer Geburtstagsparty hat es 32 Gäste. Von diesen Gästen sind 25%, d.h. 8 Personen Vegetarier.

Mit der Gesamtheit meint man die 32 Gäste. Mathematiker bezeichnen diese Gesamtheit als den Grundwert und kürzen ihn mit dem Buchstaben „G“ ab. Die Prozentangabe „25% „gibt den Anteil an, der vegetarisch ist. Man bezeichnet diese Angabe in der Fachsprache als den Prozentsatz und kürzt ihn mit „p%“ ab. Bleibt noch die Bedeutung der „8 Personen“ zu klären. Die 8 Personen sind der zahlenmässige Anteil der Leute, die Vegetarier sind. Das ist der Prozentwert und wird mit „W“ abgekürzt.

Der Prozentsatz – Eine Begriffsklärung

An dieser Stelle machen wir eine wichtige Begriffsklärung.

Es herrscht nämlich allgemeine Verwirrung bei den Begriffen Prozentsatz, Prozentzahl und Prozentfuss.

Meint man von den 25% wirklich nur die Zahl “25”, dann spricht man von der sog. Prozentzahl oder dem sog. Prozentfuss. Die Prozentzahl kürzt man mit dem Buchstaben „p“ ab. Ist hingegen der Prozentsatz gemeint (25%), so schreibt man „p%“. Wenn du also die Prozentzahl in einer Aufgabe berechnen möchtest, musst du den Prozentsatz noch mit 100 multiplizieren. Klar weshalb?

Wenn 25% für die Dezimalzahl 0.25 steht, dann musst du 0.25 mit 100 multiplizieren, um die Prozentzahl 25 zu erhalten (0.25 · 100 = 25).

Prozentsatz und Prozentzahl

Mathematik ist eine Fremdsprache

Wusstest du, dass im Laufe der Grundschulzeit bereits etwa 500 mathematische Begriffe gelernt werden müssen? Als ich das zum ersten mal gehört habe, war ich ziemlich überrascht. Zum Vergleich: In der täglichen Sprache mit Freunden und Bekannten verwendest du für die Unterhaltung etwa 750 Wörter im aktiven Wortschatz.

Wer also meint, er könne gut in Mathematik sein, ohne irgendwelche mathematischen Begriffe zu büffeln, der ist auf dem Holzweg. Du wirst die Prozentrechnung nur dann wie durch Butter anwenden können, wenn du bei einer Aufgabe sofort erkennst, was der Grundwert, der Prozentwert und der Prozentsatz ist.


Punkt 3: Prozentrechnung Formel – Das brauchst du zum Rechnen

Beim Thema Prozentrechnung dreht sich alles um den Grundwert, den Prozentwert und den Prozentsatz. Wie berechnet man diese Grössen?

Es gibt verschiedene Möglichkeiten und Betrachtungsweisen. Je nach Schulstufe und Vorwissen ist die eine oder andere Berechnungsmethode einfach anzuwenden. Ich möchte dir zuerst zeigen, wie  du die Prozentformeln anwendest.


Den Prozentwert W berechnen

Den Prozentwert berechnest du mit der Formel:

$${\sf {W=\frac{\textrm{p}}{100} \cdot \textrm{G}}}$$

In der Formel bezeichnet G den Grundwert, p die Prozentzahl (Achtung: nicht die Dezimalzahl, wirklich nur die Zahl!) und W den gesuchten Prozentwert. Die Prozentzahl wird durch 100 geteilt, um die Dezimalzahl (d.h. den Prozentsatz) zu erhalten.

Wir machen ein Beispiel:

Von 180 Besuchern abonnieren 60% den Newsletter. Wie viele Personen sind das?

In einem ersten Schritt überlegst du dir, was gegeben ist. Das sind die Prozentzahl p = 60 und der Grundwert G = 180.

Eingesetzt in der Formel: $${\sf {W=\frac{\textrm{60}}{\textrm{100}} \cdot \textrm{180}}} = \textrm{108}$$

Die Formel für den Prozentwert lässt sich auch in Worten formulieren:

Merke dir:

Den Prozentwert berechnest du, indem du den Prozentsatz (Dezimalzahl) mit dem Grundwert multiplizierst. Kurz: Multipliziere Prozentsatz mit Grundwert!

Beispiele:

Bei den folgenden vier Aufgabenbeispielen ist jeweils der Prozentsatz und der Grundwert gegeben und der Prozentwert ist zu berechnen:

  1. Wie viel sind 50% (Prozentsatz) von 40 (Grundwert)?
  2. Eine Klasse besteht aus 24 Personen (Grundwert). 12.5% (Prozentsatz) sind heute krank. Wie viele Schülerinnen und Schüler sind das?
  3. Ein Kleidungsstück kostet zum regulären Preis 69 € (Grundwert). Heute gibt es aber 15% Rabatt (Prozentsatz). Wie gross ist die Preisermässigung?
  4. Du bekommst Ende Monat einen Lohn von 900 Franken ausbezahlt (Grundwert). 30% davon (Prozentsatz) gibst du für dein Hobby aus. Was kostet dich dein Hobby im Monat?

Zur Lösung wendest du jetzt die Merkregel an: „Prozentwert gleich Prozentsatz mal Grundwert“

  1. 50% von 40 sind demnach 0.5 mal 40 was gleich 20 ist.
  2. 12.5% als Dezimalzahl geschrieben sind 0.125 (geteilt durch 100). Die kranken Schüler berechnest du, indem du 0.125 mal 24 rechnest. Das macht nach Adam Riese 3 kranke Personen in der Klasse.
  3. Auch hier drücken wir zuerst den Prozentsatz als Dezimalzahl aus und multiplizieren dann: 0.15 · 69 € gibt 10.35 € Rabatt.
  4. Dein Hobby kostet dich 0.3 · 900 Franken, das sind 270 Franken.


Den Prozentsatz p% berechnen

Die Prozentzahl p berechnest du folgendermassen:

$${\sf {p=\frac{\textrm{W}}{\textrm{G}} \cdot 100}}$$

oder direkt den Prozentsatz p%:

$${\sf {p\%=\frac{\textrm{W}}{\textrm{G}}}}$$

Auch hier soll ein Beispiel Klarheit schaffen:

In einer Schulklasse hat es 21 Schülerinnen und Schüler. An einem Montagmorgen fehlen 4 Personen. Wie viel Prozent sind das?

Du siehst, dass in dieser Aufgabe der Grundwert G die 21 Schüler sind. Die 4 fehlenden Personen entsprechen dem Prozentwert W.

Gesucht ist die Prozentzahl: $${\sf {p=\frac{\textrm{4}}{\textrm{21}} \cdot 100}} = \textrm{19}$$

Bitte beachte, dass du mit der ersten Formel die Prozentzahl berechnest und nicht den Prozentsatz. Sobald du die Prozentzahl mit dem %-Zeichen hinschreibst (19%), handelt es sich um den Prozentsatz. Dieser hat aber den Wert 0.19. Die erste Formel liefert dir aber 19. Das ist ein feiner aber wichtiger Unterschied!

Auch hier lässt sich die Formel in Worten formulieren:

Merke dir:

Um den Prozentsatz zu berechnen teilst du den Prozentwert durch den Grundwert. Damit berechnest du die Dezimalzahl. Multipliziere diese noch mit 100 und du bekommst die Prozentzahl. Kurz: Prozentwert durch Grundwert gibt Prozentsatz!

 

Beispiele:

  1. Von 20 Schülerinnen und Schüler (Grundwert) sind 5 Personen (Prozentwert) krank. Wie viel Prozent sind das?
  2. Du verdienst 2’200 € im Monat (Grundwert). Für deine Wohnungsmiete gehen 500 € drauf (Prozentwert). Wie viel Prozent deines Lohns gibst du für Miete aus?
  3. Drei (Prozentwert) von zehn Personen (Grundwert) schlafen auf dem Bauch. Wie viel Prozent sind das?
  4. In der Schweiz rauchen rund 9 (Prozentwert) von 50 Personen (Grundwert) täglich. Wie viel Prozent rauchen jeden Tag? (In Deutschland sehen die Raucherzahlen etwas anders aus: Laut einer Umfrage rauchten im Jahr 2017 36% aller Deutschen).

Zur Lösung wendest du jetzt die Merkregel an: „Prozentsatz gleich Prozentwert durch Grundwert“

  1. 5 von 20 sind krank. Das sind 5/20=0.25. Mit 100 multipliziert ergibt das 100*0.25 = 25%.
  2. Auch hier rechnest du den Prozentwert durch den Grundwert: 500€/2’200€ = 0.227 und multiplizierst wieder mit 100: 0.227*100 = 22.7%.
  3. Du rechnest 3/5 = 0.6 und mal 100 gibt 60%.
  4. Prozentwert durch Grundwert gibt 9/50 = 0.18. Mit 100 multipliziert erhältst du 18% Raucher in der Schweiz.


Den Grundwert G berechnen

Die Berechnungsformel für den Grundwert G lautet:

$${\sf {G=\frac{\textrm{W}}{\textrm{p}/100}}}$$

Aber aufgepasst!

Diese Formel für den Grundwert entspricht nicht der “offiziellen” Notation der Grundwertformel. In den Lehrbüchern schreibt man lieber:

$${\sf {G=\frac{\textrm{W}}{\textrm{p}}\cdot 100}}$$

Mir gefällt die erste Variante der Formel besser, da sie ein wenig intuitiver zu verstehen ist. Um den Zusammenhang zwischen der ersten und zweiten Formel zu erkennen, musst du wissen, dass man eine Zahl durch einen Bruch teilt, indem man die Zahl mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert. Wendest du diese Regel auf die erste Formel an, erhältst du direkt die offizielle Grundwertformel.

Auch hier soll ein Beispiel zeigen, wie die Formeln angewendet wird:

Thomas stellt dir folgendes Rätsel: 30% meines Guthabens auf dem Sparkonto entspricht 450 €. Wie viel Geld habe ich?

Du liest heraus: Die Prozentzahl p beträgt 30, der Prozentwert W sind die 450 €.

Eingesetz in der Formel gibt das: $${\sf {G=\frac{\textrm{450}}{\textrm{30}/100}}} = \textrm{1’500 €}$$

Die Formel für den Grundwert in Worten formuliert:

Merke dir.

Den Grundwert berechnest du, indem du den Prozentwert teilst durch den Prozentsatz (Dezimalzahl). Kurz: Teile Prozentwert durch Prozentsatz.

 

Beispiele:

  1. In deiner Klasse fehlen heute 4 Schülerinnen und Schüler (Prozentwert). Das sind 20% (Prozentsatz) aller Personen in der Klasse. Wie viele Schüler hat deine Klasse?
  2. In einer Umfrage aus dem Jahr 2018 gaben 220 Personen an (Prozentwert), dass sie Podcasts hören. Dies macht 21.8% aller Befragten aus (Prozentsatz). Wie viele Personen nahmen an der Umfrage teil?
  3. Gemäss einer anderen Umfrage unter Jugendlichen gaben 98 Personen (Prozentwert) an, dass sie regelmässig Cannabis konsumieren. Das sind 1.4% (Prozentsatz) aller Befragten. Wie viele Jugendliche nahmen an der Umfrage teil?
  4. Von einer Grundstücksfläche dürfen 15% der Fläche als Parkplatzfläche genutzt werden. Das macht 150 m2 Parkplatz. Wie gross ist das ganze Grundstück?

Diese Aufgaben löst du mit der Merkregel: „Grundwert gleich Prozentwert durch Prozentsatz“ folgendermassen:

  1. 20% als Dezimalzahl sind 0.2 (geteilt durch 100). Anschliessend rechnest du 4/0.2 und bekommst 20 Schülerinnen und Schüler.
  2. Auch hier rechnest du 21.8% in die Dezimalzahl 0.218 um und teilst dann den Prozentwert durch diese Zahl: 220/0.218 = 1009 Personen.
  3. Prozentwert geteilt durch Dezimalzahl gibt 98/0.014 = 7000 befragte Jugendliche.
  4. Auch hier rechnest du 150/0.15 und bekommst 1000 m2 Gesamtfläche.

 

Punkt 4: Die Bedeutung des Wörtchens „von“

Kennst du sie?

Die Bedeutung des Wortes „von“ im Zusammenhang mit der Prozentrechnung? Falls nicht, wirst du diesen Abschnitt mit Begeisterung lesen. Ich kann mich noch gut an mein eigenes „AHA“-Erlebnis erinnern, als ich in meiner eigenen Schulkarriere zum ersten mal davon gehört habe.

Im Zusammenhang mit der Prozentrechnung wird sehr häufig das Wort „von “ verwendet:

  • 40% von den 25 Kandidatinnen und Kandidaten kommen in Frage.
  • Wie viel sind 5% von 125?
  • 50% von 60 ist wie viel?

Bei all diesen Fragen ist der Prozentwert W gesucht.

Merke dir:

Das Wörtchen „von“ bedeutet in einem mathematischen Zusammenhang immer eine Multiplikation!

Konkret heisst das:

Multipliziere den Prozentsatz (Dezimalzahl) mit dem gegebenen Grundwert:

  • 40% von 25 wird so gerechnet: 0.4 · 25 = 10
  • 5% von 125 rechnest du: 0.05 · 125 = 6.25
  • 50% von 60 geht dann so: 0.5 · 60 = 30

 

Schritt 5: Prozentrechnung selber üben

Übung macht den Meister! Diese Wahrheit gilt nicht nur im Sport und in der Musik. Du wirst das Prozentrechnen nur dann souverän lernen, wenn du die einzelnen „Handgriffe“ so lange einstudierst, bis du sie im Schlaf anwenden kannst.

An dieser Stelle muss ich dir eine ganz wichtige Sache mit auf den Weg geben. Sehr viele meiner Schülerinnen und Schüler erliegen einem Irrtum:

Wenn eine Sache beim Zuschauen einfach erscheint, dann heisst das auf keinen Fall, dass es einfach ist, sie selber umzusetzen.

Wenn ich Roger Federer beim Tennis spielen zusehe, dann habe ich immer den Eindruck, dass dieser Sport ganz einfach ist. Selbstverständlich ist das Gegenteil der Fall. Jeder Handgriff, jeder Schritt, jeder Schlag wurde von Federer viele Male eingeübt.

Es reicht nicht, dass du die folgenden Aufgaben mit einem Blick auf die Lösungen überfliegst und dir selber auf die Schulter klopfst, weil „es eigentlich ganz leicht aussieht“. Löse hartnäckig Aufgaben bis du alle richtig hast!

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