Tangenten legen
Steigung bestimmen, Ansatz machen, Punkt einsetzen.
Fritzlis Dachrinne
Fritzli legt ein gebogenes Stück Dachrinne flach auf den Boden vor eine Mauer und lässt Murmeln hindurchrollen.
Geradeaus
Nach der Rinne rollt die Murmel geradeaus weiter – in der Richtung, die sie am Ende der Rinne hat.
Diese Gerade ist die Tangente an die Rinne.
Wo die Murmel die Mauer trifft, sagt uns die Gleichung der Tangente.
Die Tangente
Die Tangente an die Kurve im Punkt B(x0, f(x0)) …
- geht durch B,
- hat in B dieselbe
Steigung wie die Kurve:
m = f′(x0)
Unter der Lupe sind Kurve und Tangente kaum zu unterscheiden.
Nicht überall gibt es eine Tangente
f(x) = |x| hat bei x = 0 einen Knick.
Welche Gerade soll dort die Tangente sein?
Auch unter der Lupe bleibt der Knick.
Im Knick hat die Kurve keine eindeutige Steigung – also keine Tangente.
Tangente in einem Kurvenpunkt
Aufgabe
1Steigung bestimmen
| f(x) | = | x2 − 4x + 5 |
| f′(x) | = | 2x − 4 |
| m | = | f′(3) = 2 · 3 − 4 = 2 |
2Ansatz machen
Alle diese Geraden haben die Steigung 2.
Welche Gerade mit Steigung 2 geht durch B?
3Punkt einsetzen
B(3, 2) in t(x) = 2x + b einsetzen:
| 2 | = | 2 · 3 + b | |
| 2 | = | 6 + b | | − 6 |
| b | = | −4 |
t(x) = 2x − 4
Tangente in einem Kurvenpunkt
- 1Steigung bestimmen Ableitung f′(x) bilden, die Stelle x0 des Berührpunkts einsetzen: m = f′(x0)
- 2Ansatz machen Für m die Zahl einsetzen: t(x) = m · x + b
- 3Punkt einsetzen
Koordinaten des Berührpunkts B(x0, y0)
einsetzen, nach b auflösen.
Fehlt y0, zuerst mit f ausrechnen: y0 = f(x0).
Die Rinne als Parabel
| 1 | f′(x) | = | 0.5x − 2 |
| m | = | f′(3) = 0.5 · 3 − 2 = −0.5 | |
| 2 | t(x) | = | −0.5x + b |
| 3 | 2.25 | = | −0.5 · 3 + b |
| 2.25 | = | −1.5 + b| + 1.5 | |
| b | = | 3.75 |
t(x) = −0.5x + 3.75
Wo trifft die Murmel die Mauer?
Die Mauer ist die x-Achse: t(x) = 0
| −0.5x + 3.75 | = | 0| − 3.75 |
| −0.5x | = | −3.75| : (−0.5) |
| x | = | 7.5 |
Die Murmel trifft die Mauer bei x = 7.5.
Tangente von einem
Punkt ausserhalb
Aufgabe
Das Problem: Wir kennen den Berührpunkt B nicht.
Die Idee: Steigung zweimal
Berührpunkt: B(u, f(u))
2u − 4 = f(u) + 2u − 1
Die Gleichung lösen
| 2u − 4 | = | f(u) + 2u − 1 | f(u) = u2 − 4u + 5 einsetzen |
| 2u − 4 | = | u2 − 4u + 7u − 1 | | · (u − 1) |
| (2u − 4)(u − 1) | = | u2 − 4u + 7 | ausmultiplizieren |
| 2u2 − 6u + 4 | = | u2 − 4u + 7 | | − u2 + 4u − 7 |
| u2 − 2u − 3 | = | 0 | faktorisieren |
| (u − 3)(u + 1) | = | 0 | |
| u | = | 3 oder u = −1 |
Zwei Tangenten
u = 3: B1(3, 2), die Tangente von vorhin: t1(x) = 2x − 4
u = −1: f(−1) = 1 + 4 + 5 = 10, also B2(−1, 10)
| 1 | m | = | f′(−1) = 2 · (−1) − 4 = −6 |
| 2 | t2(x) | = | −6x + b |
| 3 | 10 | = | −6 · (−1) + b = 6 + b ⇒ b = 4 |
t2(x) = −6x + 4
Durch P gibt es genau zwei Tangenten.
Von aussenTangente von einem Punkt ausserhalb
- Berührpunkt B(u, f(u)) ansetzen, Skizze machen
- Steigung zweimal ausdrücken und gleichsetzen:
f′(u) = f(u) − yPu − xP - nach u auflösen: Jede Lösung gibt einen Berührpunkt.
- für jeden Berührpunkt: 123
Parallel und senkrecht
ParallelParallel zu einer Geraden
Parallel heisst: gleiche Steigung.
Gesucht sind die Stellen mit f′(x) = 2.5:
| 1.5x2 − 2x − 1 | = | 2.5| − 2.5 |
| 1.5x2 − 2x − 3.5 | = | 0| · 2 |
| 3x2 − 4x − 7 | = | 0Lösungsformel |
| x | = | −1 oder x = 73 |
Zwei Berührpunkte, weiter mit 23
NormaleDie Normale
Die Normale steht im Berührpunkt B senkrecht auf der Tangente.
Steigung der Normalen: −1m
Kehrwert nehmen und Vorzeichen wechseln
Normale berechnen
| Normale | Steigung −12 = −0.5 | ||
| 2 | n(x) | = | −0.5x + b |
| 3 | 2 | = | −0.5 · 3 + b |
| 2 | = | −1.5 + b| + 1.5 | |
| b | = | 3.5 | |
n(x) = −0.5x + 3.5
Jetzt rechnest du
Vier Aufgaben
- 1Gegeben ist f(x) = x3 − 4x + 2. Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle x = −1.
- 2Gegeben sind f(x) = 0.5x4 − 1 und g(x) = −2x + 4. Bestimme die Tangente an f, die parallel zu g ist.
- 3Gegeben ist f(x) = −x2 + 6x − 5. Bestimme die Gleichungen der Tangente und der Normalen im Kurvenpunkt P(4, ?).
- 4Gegeben ist f(x) = 0.25x2 + 2. Bestimme die Gleichungen der Tangenten vom Punkt P(0, 1) an den Graphen von f.
| 1 | f′(x) | = | 3x2 − 4 |
| m | = | f′(−1) = 3 · (−1)2 − 4 = −1 | |
| 2 | t(x) | = | −x + b |
| 3 | f(−1) | = | (−1)3 − 4 · (−1) + 2 = 5, B(−1, 5) |
| 5 | = | −(−1) + b | |
| 5 | = | 1 + b| − 1 | |
| b | = | 4 |
t(x) = −x + 4
| Parallel | f′(x) | = | −2 (Steigung von g) |
| 2x3 | = | −2| : 2 | |
| x3 | = | −1dritte Wurzel | |
| x | = | −1 | |
| 2 | t(x) | = | −2x + b |
| 3 | f(−1) | = | 0.5 · (−1)4 − 1 = −0.5, B(−1, −0.5) |
| −0.5 | = | −2 · (−1) + b = 2 + b| − 2 | |
| b | = | −2.5 |
t(x) = −2x − 2.5
| 1 | f′(x) | = | −2x + 6 |
| m | = | f′(4) = −2 · 4 + 6 = −2 | |
| 2 | t(x) | = | −2x + b |
| 3 | f(4) | = | −16 + 24 − 5 = 3, P(4, 3) |
| 3 | = | −2 · 4 + b = −8 + b| + 8 | |
| b | = | 11 |
t(x) = −2x + 11
| Normale | Steigung −1−2 = 12 = 0.5 | ||
| 2 | n(x) | = | 0.5x + b |
| 3 | 3 | = | 0.5 · 4 + b = 2 + b| − 2 |
| b | = | 1 | |
n(x) = 0.5x + 1
Von aussenBerührpunkt B(u, 0.25u2 + 2)
| Ableitung: | f′(u) = 0.5u | |
| Steigungsdreieck: | 0.25u2 + 2 − 1u − 0 = 0.25u2 + 1u |
| 0.5u | = | 0.25u2 + 1u| · u |
| 0.5u2 | = | 0.25u2 + 1| − 0.25u2 |
| 0.25u2 | = | 1| · 4 |
| u2 | = | 4 |
u = 2 oder u = −2
Die zwei Tangenten
u = 2: B1(2, 3)
| 1 | m | = | f′(2) = 0.5 · 2 = 1 |
| 2 | t1(x) | = | x + b |
| 3 | 3 | = | 2 + b ⇒ b = 1 |
t1(x) = x + 1
u = −2: B2(−2, 3)
| 1 | m | = | f′(−2) = 0.5 · (−2) = −1 |
| 2 | t2(x) | = | −x + b |
| 3 | 3 | = | −(−2) + b = 2 + b ⇒ b = 1 |
t2(x) = −x + 1
Das Rezept
- 1Steigung bestimmen m = f′(x0)
- 2Ansatz machen t(x) = m · x + b
- 3Punkt einsetzen B(x0, f(x0)) einsetzen, nach b auflösen
- NormaleSteigung −1m: Kehrwert nehmen und Vorzeichen wechseln
- Parallelgleiche Steigung wie g: die Gleichung f′(x) = Steigung von g lösen
- Von aussenB(u, f(u)), Steigung zweimal: f′(u) = f(u) − yPu − xP
Steigung bestimmen,
Ansatz machen,
Punkt einsetzen.
t(x) = m · x + b