Mathefrosch
Wanted: eine Polynomfunktion

Steckbrief-
aufgaben

Aus den Merkmalen die Funktion finden.

WANTED
Polynomfunktion · 3. Grades
f(x) = ?
geht durch (3, 0) und (0, 15)Steigung −4 an der Stelle x = 2Wendepunkt an der Stelle x = 23
Umgekehrt gedacht

Kurvendiskussion – und rückwärts

Funktion
f(x) = x3 − 2x2 − 8x + 15
Kurvendiskussion
Steckbriefaufgabe
Merkmale
  • geht durch (3, 0) und (0, 15)
  • Steigung −4 an der Stelle x = 2
  • Wendepunkt an der Stelle x = 23

Gegeben sind die Merkmale, gesucht ist die Funktion.

Die Idee

In drei Schritten zur Funktion

  1. Ansatz aufstellen: die allgemeine Funktion mit dem richtigen Grad
  2. Jede Angabe in eine Gleichung übersetzen
  3. Das Gleichungssystem lösen

Ein Regelwerk gibt es nicht – aber Ideen, die weiterhelfen.

1

Zum Aufwärmen

Eine Gerade und eine Parabel

Die einfachste Steckbriefaufgabe

Eine Gerade durch zwei Punkte

Ansatz Punkte auf der Kurve Gleichungssysteme
Gegeben sind die beiden Punkte A(1, 4) und B(3, 5). Wie lautet die Gleichung der Geraden durch diese Punkte?
Grad 1 f(x) = a · x + b 2 Unbekannte
A(1, 4) 4 = a · 1 + b → a + b = 4
B(3, 5) 5 = a · 3 + b → 3a + b = 5
TR a = 12, b = 72 Gleichungssystem lösen
f(x) = 12 · x + 72
A(1, 4)
B(3, 5)
Idee: Ansatz

Der Grad bestimmt die Anzahl Unbekannten

Ansatz Gleichungssysteme
GradAnsatzUnbekannte
1 f(x) = a · x + b 2
2 f(x) = a · x2 + b · x + c 3
3 f(x) = a · x3 + b · x2 + c · x + d 4
4 f(x) = a · x4 + b · x3 + c · x2 + d · x + e 5
Grad n: n + 1 Unbekannte, also n + 1 Gleichungen
Scheitel und Punkt

Eine Parabel

Extrema, Wendepunkte Zu wenig Gleichungen?
Eine Parabel hat ihren Scheitel in S(1, 4) und geht durch den Punkt P(3, −4). Wie lautet ihre Gleichung?
Parabel heisst Grad 2, also 3 Unbekannte.
Gegeben sind aber nur zwei Punkte?
Der Scheitel ist ein Extremum: Dort ist die Steigung 0.
Der Scheitel liefert also zwei Gleichungen.
Steigung 0
P(3, −4)
S(1, 4)
Scheitel und Punkt

Drei Angaben, drei Gleichungen

Ansatz Punkte auf der Kurve Extrema, Wendepunkte Gleichungssysteme
Eine Parabel hat ihren Scheitel in S(1, 4) und geht durch den Punkt P(3, −4). Wie lautet ihre Gleichung?
Grad 2 f(x) = a · x2 + b · x + c 3 Unbekannte
f′(x) = 2a · x + b für den Scheitel
P(3, −4) −4 = a · 32 + b · 3 + c → 9a + 3b + c = −4
S(1, 4) 4 = a · 12 + b · 1 + c → a + b + c = 4
f′(1) = 0 0 = 2a · 1 + b → 2a + b = 0
TR a = −2, b = 4, c = 2 Gleichungssystem lösen
f(x) = −2x2 + 4x + 2
Steigung 0
P(3, −4)
S(1, 4)
2

Aus der Aufgabensammlung

Aufgaben 9 und 10

Vor dem Rechnen

Welche Angabe gehört wohin?

Punkte auf der Kurve Steigungen Extrema, Wendepunkte

in f

Punkt P(p, q) auf der Kurve f(p) = q
Nullstelle bei 3: f(3) = 0

in f′

Steigung s an der Stelle p f′(p) = s
Extremum an der Stelle p f′(p) = 0

in f″

Wendepunkt an der Stelle p f″(p) = 0

Extremum und Wendepunkt: Die Gleichung beginnt mit 0 = …

Aufgabe 9

Lesen und einzeichnen

Eine Polynomfunktion 3. Grades schneidet die Koordinatenachsen bei x = 3 und y = 15. Legt man an den Graphen dieser Funktion an der Stelle x = 2 eine Tangente, so hat diese die Steigung m = −4. Ausserdem liegt ein Wendepunkt vor, nämlich an der Stelle x = 23.
(3, 0) (0, 15) Steigung −4 bei x = 2 Wendepunkt bei x = 23
Grad 3: 4 Unbekannte – und genau 4 Angaben.
W(23, ?)
(3, 0)
(0, 15)
Aufgabe 9

Ansatz und Gleichungen

Ansatz Punkte auf der Kurve Steigungen Extrema, Wendepunkte
Grad 3 f(x) = a · x3 + b · x2 + c · x + d 4 Unbekannte
f′(x) = 3a · x2 + 2b · x + c
f″(x) = 6a · x + 2b
(0, 15) 15 = a · 03 + b · 02 + c · 0 + d → d = 15
(3, 0) 0 = a · 33 + b · 32 + c · 3 + 15 → 27a + 9b + 3c = −15
f′(2) = −4 −4 = 3a · 22 + 2b · 2 + c → 12a + 4b + c = −4
f″(23) = 0 0 = 6a · 23 + 2b → 4a + 2b = 0
Eine Polynomfunktion 3. Grades schneidet die Koordinatenachsen bei x = 3 und y = 15. Legt man an den Graphen dieser Funktion an der Stelle x = 2 eine Tangente, so hat diese die Steigung m = −4. Ausserdem liegt ein Wendepunkt vor, nämlich an der Stelle x = 23.
Aufgabe 9

Lösen und prüfen

Gleichungssysteme
27a + 9b + 3c = −15 12a + 4b + c = −4 4a + 2b = 0
TR a = 1, b = −2, c = −8 und d = 15
f(x) = x3 − 2x2 − 8x + 15
f(0) = 15, f(3) = 0 f′(2) = 12 − 8 − 8 = −4 f″(23) = 4 − 4 = 0
W(23, ?)
m = −4
W
(3, 0)
(0, 15)
Aufgabe 10

Lesen und einzeichnen

Eine achsensymmetrische Polynomfunktion 4. Grades schneidet die Gerade gegeben durch g(x) = −83 x + 2 auf der y-Achse und berührt die Gerade h(x) = −4x + 3 bei x = 1.
(0, 2) g(0) = 2 von g nur der y-Achsenabschnitt
(1, −1) h(1) = −4 · 1 + 3 = −1 gemeinsamer Punkt
f′(1) = −4 Steigung von h berühren: gleiche Steigung
Achsensymmetrisch, Grad 4: nur gerade Hochzahlen.
g
h
berührt
(0, 2)
(1, −1)
Aufgabe 10

Ansatz und Gleichungen

Symmetrische Funktionen Punkte auf der Kurve Steigungen Zu wenig Gleichungen?
symmetrisch, Grad 4 f(x) = a · x4 + b · x2 + c 3 statt 5 Unbekannte
f′(x) = 4a · x3 + 2b · x
(0, 2) 2 = a · 04 + b · 02 + c → c = 2
(1, −1) −1 = a · 14 + b · 12 + 2 → a + b = −3
f′(1) = −4 −4 = 4a · 13 + 2b · 1 → 4a + 2b = −4

Berühren gibt zwei Gleichungen: gleicher Punkt, gleiche Steigung.

Eine achsensymmetrische Polynomfunktion 4. Grades schneidet die Gerade gegeben durch g(x) = −83 x + 2 auf der y-Achse und berührt die Gerade h(x) = −4x + 3 bei x = 1.
Aufgabe 10

Lösen und prüfen

Gleichungssysteme
a + b = −3 4a + 2b = −4
TR a = 1, b = −4 und c = 2
f(x) = x4 − 4x2 + 2
f(0) = 2, f(1) = 1 − 4 + 2 = −1 f′(1) = 4 − 8 = −4

Die Steigung von g haben wir nicht gebraucht.

g
h
berührt
(0, 2)
(1, −1)
Zusammenfassung

Lösungsideen zu Steckbriefaufgaben

1Ansatz Der Grad bestimmt die Unbekannten. 3. Grades, also 4 Unbekannte: f(x) = a · x3 + b · x2 + c · x + d
2Punkte auf der Kurve x und y des Punktes in f einsetzen: (3, 0) → f(3) = 0
3Extrema, Wendepunkte In die Ableitungen einsetzen, die Gleichung beginnt mit 0 = … Extremum: f′(p) = 0, Wendepunkt: f″(p) = 0
4Steigungen Steigung s an der Stelle p: f′(p) = s
5Gleichungssysteme Alle Angaben verwendet: so viele Gleichungen wie Unbekannte. Dann das Gleichungssystem (hoffentlich) lösen.
6Symmetrische Funktionen Nur gerade Hochzahlen (zur y-Achse symmetrisch) oder nur ungerade (zum Ursprung symmetrisch): Rund die Hälfte der Unbekannten fällt weg.
7Zu wenig Gleichungen? Ein häufiger Fehler: Eine Angabe kann zwei Gleichungen liefern. «Extremum in (2, 3)» gibt f′(2) = 0 und f(2) = 3. Ebenso Berühren: gleicher Punkt und gleiche Steigung.
Zum Nachschlagen

Vom Text zur Gleichung

Im Text steht …Gleichung geht durch P(2, 3) f(2) = 3 schneidet die y-Achse bei 15 f(0) = 15 Nullstelle bei 3 f(3) = 0 Steigung −4 an der Stelle 2 f′(2) = −4 Extremum (Hoch- oder Tiefpunkt) bei x = 1 f′(1) = 0 Wendepunkt bei x = 23 f″(23) = 0 Sattelpunkt bei x = 2 f′(2) = 0 und f″(2) = 0 berührt die Gerade h bei x = 1 f(1) = h(1) und f′(1) = h′(1)
Und jetzt du

Wer fasst diese Funktion?

Eine Polynomfunktion 5. Grades ist symmetrisch zum Ursprung. Sie hat in W(1, 1) einen Wendepunkt, und die Tangente im Ursprung hat die Steigung 8. Wie lautet ihre Gleichung?
Resultat zur Kontrolle f(x) = 3x5 − 10x3 + 8x
WANTED
Polynomfunktion · 5. Grades
f(x) = ?
symmetrisch zum UrsprungWendepunkt in W(1, 1)Steigung 8 im Ursprung
Und jetzt du · Musterlösung

Ansatz und Gleichungen

Symmetrische Funktionen Steigungen Punkte auf der Kurve Extrema, Wendepunkte Zu wenig Gleichungen?
symmetrisch, Grad 5 f(x) = a · x5 + b · x3 + c · x 3 statt 6 Unbekannte
f′(x) = 5a · x4 + 3b · x2 + c
f″(x) = 20a · x3 + 6b · x
f′(0) = 8 8 = 5a · 04 + 3b · 02 + c → c = 8
W(1, 1) 1 = a · 15 + b · 13 + 8 → a + b = −7
f″(1) = 0 0 = 20a · 13 + 6b · 1 → 20a + 6b = 0

Der Wendepunkt gibt zwei Gleichungen: Punkt in f, Null in f″.

Eine Polynomfunktion 5. Grades ist symmetrisch zum Ursprung. Sie hat in W(1, 1) einen Wendepunkt, und die Tangente im Ursprung hat die Steigung 8. Wie lautet ihre Gleichung?
Und jetzt du · Musterlösung

Lösen und prüfen

Gleichungssysteme
a + b = −7 20a + 6b = 0
TR a = 3, b = −10 und c = 8
f(x) = 3x5 − 10x3 + 8x
f(1) = 3 − 10 + 8 = 1 f′(0) = 8 f″(1) = 60 − 60 = 0

Dank der Symmetrie auch Wendepunkte in (−1, −1) und im Ursprung.

m = 8
W
Steckbriefaufgaben

Gefasst!

Ansatz, Gleichungen, Gleichungssystem –
und die Funktion sitzt.

Mathefrosch Viel Erfolg!
Aufgabe 9 · gefasst
f(x) = x3 − 2x2 − 8x + 15