Wenn x im Quadrat vorkommt
Quadratische
Gleichungen lösen
Spezialfälle, Lösungsformel – und wie viele Lösungen es gibt.
1
Linear und quadratisch
Lineare Gleichungen
5x + 4 = 19
5x = 15
| −4
x =
155
= 3
x kommt nur hoch 1 vor.
a · x + b = 0
Quadratische Gleichungen
a · x2
+ b · x
+ c
= 0
quadratischer
Summand linearer
Summand konstanter
Summand
Summand linearer
Summand konstanter
Summand
Höchste Potenz: x2, also a ≠ 0.
3x2
− x
− 10
= 0
a = 3 b = −1 c = −10
Zum Mitdenken
Linear oder quadratisch?
a)
7x − 2 = 3x + 10
linear
b)
x2 + 4x = 12
quadratisch
c)
x · (x − 3) = 4
quadratisch: ausmultipliziert x2 − 3x = 4
d)
(x + 2)2 = x2 + 8
linear: x2 fällt weg, 4x + 4 = 8
2
Spezialfälle
Wenn ein Summand fehlt
Spezialfall 1 · Wurzel ziehen
Kein linearer Summand
x2
− 225 = 0
x2 = 225
| +225
x = ±225
= ±15
Wurzel ziehen, mit ±
x1 = 15,
x2 = −15
L = {−15; 15}
Spezialfall 1 · Wurzel ziehen
Kein linearer Summand
9x2
− 4 = 0
9x2 = 4
| +4
x2 =
49
| : 9
x = ±49
= ±23
Wurzel ziehen, mit ±
x1 = 23,
x2 = −23
L =
{−23;
23}
Spezialfall 1 · Wurzel ziehen
Kein linearer Summand
0.5x2
− 0.5 = 0
0.5x2 = 0.5
| +0.5
x2 = 1
| : 0.5
x = ±1
= ±1
Wurzel ziehen, mit ±
x1 = 1,
x2 = −1
L = {−1; 1}
Spezialfall 1 · Wurzel ziehen
Kein linearer Summand
3x2
+ 6 = 0
3x2 = −6
| −6
x2 = −2
| : 3
Ein Quadrat ist nie negativ.
L = { }
Spezialfall 2 · Ausklammern
Kein konstanter Summand
x2
− 9x = 0
x · (x − 9) = 0
x ausklammern
Ein Produkt ist nur dann Null, wenn ein Faktor Null ist.
x = 0 oder x − 9 = 0
jeden Faktor Null setzen
x1 = 0,
x2 = 9
L = {0; 9}
Spezialfall 2 · Ausklammern
Kein konstanter Summand
6x2
− 24x = 0
6x · (x − 4) = 0
6x ausklammern
6x = 0 oder x − 4 = 0
jeden Faktor Null setzen
x1 = 0,
x2 = 4
L = {0; 4}
Spezialfall 2 · Ausklammern
Kein konstanter Summand
3x2
+ 3x = 0
3x · (x + 1) = 0
3x ausklammern
3x = 0 oder x + 1 = 0
jeden Faktor Null setzen
x1 = 0,
x2 = −1
L = {−1; 0}
Spezialfall 2 · Ausklammern
Nicht durch x teilen
x2
= 7x
x = 7
| : x
Die Lösung x = 0 geht verloren.
x2 − 7x = 0
| −7x
x · (x − 7) = 0
x ausklammern
x1 = 0,
x2 = 7
L = {0; 7}
3
Die Lösungsformel
Wenn alle drei Summanden da sind
Alle drei Summanden
x2
+ 10x
− 39 = 0
Wurzel ziehen?
Der lineare Summand stört.
Ausklammern?
Der konstante Summand stört.
Und jetzt?
al‑Chwarizmi
um 780 – um 850, Bagdad
um 780 – um 850, Bagdad
Der Mann, der der Algebra den Namen gab
- 820 schreibt er in Bagdad ein Buch über al‑ǧabr – das „Ergänzen“ einer Gleichung. Daraus wird unser Wort Algebra.
- Aus seinem latinisierten Namen Algorismi wird das Wort Algorithmus.
- Er hat keine Formelzeichen. Kein x, kein =, keine negativen Zahlen. Alles steht in Worten da.
- Seinen Lösungsweg begründet er mit einem Bild: einem Quadrat, das man ergänzt.
Wussten Sie? Von al‑Chwarizmi ist kein einziges Porträt
überliefert. Das Bild, das man überall sieht, ist eine sowjetische Briefmarke
von 1983 – zu seinem 1200. Geburtstag.
Sein Beispiel, sein Bild
x2 + 10x
= 39
x2 + 10x
+ 25
= 39 +
25
(x + 5)2
= 64
x + 5 = ±8
x1 = 3,
x2 = −13
Tausend Jahre später, in einer Zeile
a · x2
+ b · x
+ c
= 0
x1,2
=
−b ±
b2 − 4ac
2a
- a, b, c mit Vorzeichen ablesen.
- Zuerst die Diskriminante ausrechnen: D = b2 − 4ac
- Einsetzen.
Lösungsformel
Beispiel 1: Die Wurzel geht auf
−5x2
+ 8x
+ 21 = 0
a = −5
b = 8
c = 21
D = 82
− 4 · (−5) · 21
Diskriminante
D = 64 + 420 = 484
x1,2 =
−8 ± 4842 · (−5)
=
−8 ± 22−10
einsetzen
x1 =
−8 + 22−10
= −1.4
x2 =
−8 − 22−10
= 3
L = {−1.4; 3}
Lösungsformel
Beispiel 2: Die Wurzel geht nicht auf
2x2
− 7x
+ 4 = 0
a = 2
b = −7
c = 4
D = (−7)2
− 4 · 2 · 4
Diskriminante
D = 49 − 32 = 17
x1,2 =
−(−7) ± 172 · 2
=
7 ± 174
einsetzen
x1 =
7 + 174
≈ 2.78gerundet
x2 =
7 − 174
≈ 0.72gerundet
L =
{7 − 174;
7 + 174}
Lösungsformel
Beispiel 3: Keine Lösung
5x2
− 6x
+ 2 = 0
a = 5
b = −6
c = 2
D = (−6)2
− 4 · 5 · 2
Diskriminante
D = 36 − 40 = −4
D < 0
Wert unter der Wurzel negativ
L = { }
Lösungsformel
Beispiel 4: Genau eine Lösung
4x2
− 28x
+ 49 = 0
a = 4
b = −28
c = 49
D = (−28)2
− 4 · 4 · 49
Diskriminante
D = 784 − 784 = 0
x =
−(−28) ± 02 · 4
=
288
= 3.5
± 0 ändert nichts
L = {3.5}
Die Diskriminante entscheidet
D > 0
zwei Lösungen
Beispiele 1 und 2
D = 0
eine Lösung
Beispiel 4
D < 0
keine Lösung
Beispiel 3
Zusammenfassung
So gehe ich vor
a · x2
+ b · x
+ c
= 0
Fehlt ein Summand?
Fehlt ein Summand?
ja
Kein linearer Summand
x2 allein stellen, Wurzel ziehen, mit ±
Kein konstanter Summand
x ausklammern, jeden Faktor Null setzen
nein
Lösungsformel
zuerst D = b2
− 4ac ausrechnen
D > 0
zwei Lösungen D = 0
eine Lösung D < 0
keine Lösung
zwei Lösungen D = 0
eine Lösung D < 0
keine Lösung
Die Formel ist nicht immer der einfachste Weg.
Quadratische Gleichungen
Zuerst den Spezialfall suchen,
sonst die Lösungsformel.
Viel Erfolg!