Mathefrosch
Von der Normalparabel zur Scheitelform

Quadratische Funktionen

Eine Kurve, drei Schrauben – und zwei Fragen an eine Kugel.

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Zwei Kurven, zwei Ansätze

Benzin im Tank

Tank voll: 56 Liter Verbrauch: 7 Liter auf 100 km T(d) = 56 − 0.07 · d d = 0  →  56 Liter T(d) = 0  →  d = 800 km

Kugelstossen

Abwurfhöhe: 1.75 m Abwurfwinkel: 45° Abwurftempo: 14.0 m/s h(d) = −0.05 d2 + d + 1.75

Linear

f(x) = m · x + b
  • Graph ist eine Gerade
  • höchstens eine Nullstelle
  • kein höchster Punkt

Quadratisch

f(x) = ax2 + bx + c
  • Graph ist eine Parabel
  • zwei, eine oder keine Nullstelle
  • ein höchster (oder tiefster) Punkt

Neu ist einzig der Term ax2.

2

Die Normalparabel

f(x) = x2
x
f(x)
−3
9
−2
4
−1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x)

Links und rechts steht dasselbe.

die sieben Punkte der Tabelle verbunden: die Normalparabel Symmetrieachse x = 0 tiefster Punkt: der Scheitel S(0, 0)

Drei Namen

Parabel

der Graph jeder quadratischen Funktion

Normalparabel

die eine Parabel zu f(x) = x2

Scheitel

der Punkt auf der Symmetrieachse

Mathefrosch
Wussten Sie? Den Namen Parabel hat Apollonios von Perge vergeben, rund 200 Jahre vor unserer Zeitrechnung. Griechisch parabolḗ heisst „Anlegen“ – er schnitt die Kurve aus einem Kegel heraus, lange bevor jemand x2 schreiben konnte.
3

Drei Schrauben an der Parabel

Was macht a in a x2?

a = 1  die Normalparabel a = 2  enger, steiler a = 13  breiter, flacher a = −3  Öffnung nach unten Scheitel bleibt S(0, 0)

Was macht v in x2 + v?

x2 + 2  zwei nach oben x2 − 5  fünf nach unten S(0, v)

Was macht u in (x − u)2?

(x − 2)2  zwei nach rechts (x + 4)2  vier nach links S(u, 0)
Das Vorzeichen täuscht: (x − 2)2 geht nach rechts.

Alle drei nacheinander

x2 die Normalparabel −2x2 gespiegelt und enger −2(x + 3)2 drei nach links −2(x + 3)2 + 5 fünf nach oben
Die Scheitelform
f(x) = a(x − u)2 + v

a

eng oder breit,
offen nach oben oder unten

u

waagrecht
verschoben

v

senkrecht
verschoben

Scheitel S(u, v)
4

Zeichnen mit Scheitel und a

Eins nach rechts, a nach oben

x2: 1 rechts → 1 hoch, 2 rechts → 4 hoch 2x2: dieselben Schritte … … aber 2 und 8 hoch jede Höhe mal a

Vom Scheitel aus gezählt

nach rechts
x2
1
1
2
4
3
9
nach rechts
2x2
1
2
2
8
3
18
nach rechts
12x2
1
0.5
2
2
3
4.5
f(x) = −(x − 2)2 + 3
Scheitel S(2, 3) a = −1  →  Öffnung nach unten gleich breit wie die Normalparabel 1 rechts → 1 hinunter, 2 rechts → 4 hinunter
f(x) = 2(x + 4)2 − 6
Scheitel S(−4, −6) a = 2  →  Öffnung nach oben, eng 1 rechts → 2 hoch, 2 rechts → 8 hoch
f(x) = −14(x − 1)2 + 3
Scheitel S(1, 3) a = −14  →  nach unten, breit 2 rechts → 1 hinunter, 4 rechts → 4 hinunter
f(x) = 12(x + 2)2 − 1
Scheitel S(−2, −1) a = 12  →  nach oben, breit 2 rechts → 2 hoch, 4 rechts → 8 hoch

Und rückwärts?

Scheitel ablesen: S(3, 5) nach unten, gleich breit  →  a = −1 f(x) = −(x − 3)2 + 5

Und rückwärts?

Scheitel ablesen: S(−1, −4) 1 rechts → 2 hoch  →  a = 2 f(x) = 2(x + 1)2 − 4
5

Die Normalform

Von der Scheitelform zur Normalform

f(x) = 2(x + 4)2 − 6 = 2(x2 + 8x + 16) − 6 binomische Formel = 2x2 + 16x + 32 − 6 ausmultipliziert = 2x2 + 16x + 26
f(x) = ax2 + bx + c
f(x) = x2 − 2x − 8
a = 1  →  nach oben f(0) = c  →  Schnittpunkt mit der y-Achse f(x) = 0  →  Nullstellen: Schnittpunkte mit der x-Achse Der Scheitel ist nicht abzulesen.

Nullstellen berechnen

x1,2 = −b ± b2 − 4ac 2a
x2 − 2x − 8 = 0 a = 1, b = −2, c = −8 x1,2 = 2 ± 4 + 322 = 2 ± 62 x1 = 4    x2 = −2

Wie viele Nullstellen?

x2 − 2x − 3
b2 − 4ac = 16 > 0
zwei Nullstellen
x2 − 2x + 1
b2 − 4ac = 0
eine Nullstelle
x2 − 2x + 3
b2 − 4ac = −8 < 0
keine Nullstelle
Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet.
6

Die Scheitelkoordinaten

f(x) = 12x2 − 3x + 2.5
Nullstellen 1 und 5 beide gleich weit von der Symmetrieachse also liegt der Scheitel genau in der Mitte: S(3, −2)

Scheitel aus der Normalform

u = −b2a v = f(u)
S(u, v)
f(x) = x2 − 4x + 1
u = −(−4)2 · 1 = 2 v = f(2) = 4 − 8 + 1 = −3 S(2, −3) f(x) = (x − 2)2 − 3
f(x) = −x2 − 4x − 7
u = −(−4)2 · (−1) = −2 v = f(−2) = −4 + 8 − 7 = −3 S(−2, −3) f(x) = −(x + 2)2 − 3
f(x) = 2x2 + 12x + 13
u = −122 · 2 = −3 v = f(−3) = 18 − 36 + 13 = −5 S(−3, −5) f(x) = 2(x + 3)2 − 5

Normalform

ax2 + bx + c
  • zeigt den y-Achsenabschnitt c
  • gut für Nullstellen
  • Scheitel: rechnen

Scheitelform

a(x − u)2 + v
  • zeigt den Scheitel S(u, v)
  • gut zum Zeichnen
  • Nullstellen: rechnen
hin: ausmultiplizieren   •   zurück: u = −b2a, v = f(u)
7

Zurück zur Kugel

Wie hoch fliegt die Kugel?

h(d) = −0.05 d2 + d + 1.75
u = −b2a = −12 · (−0.05) = 10 die Stelle des höchsten Punkts v = h(10) = −5 + 10 + 1.75 = 6.75 S(10, 6.75)

Nach 10 m Weite ist die Kugel 6.75 m hoch.

Wie weit fliegt die Kugel?

−0.05 d2 + d + 1.75 = 0 die Kugel landet: h = 0 d2 − 20d − 35 = 0 mal (−20) d1,2 = 20 ± 400 + 1402 = 20 ± 23.242 d1 = 21.62     d2 = −1.62

Die Kugel landet nach 21.62 m. Die negative Lösung liegt hinter dem Stossenden – sie zählt nicht.

höchster Punkt: S(10, 6.75) Wurfweite: 21.62 m Scheitel → Höhe
Nullstelle → Weite
Zum Mitnehmen

Vier Kochrezepte

Parabel zeichnen

Scheitelform hinschreiben → S(u, v) einzeichnen → vom Scheitel aus 1 rechts / a hoch, 2 rechts / 4a hoch.

Gleichung ablesen

Scheitel ablesen → einen zweiten Punkt nehmen → a daraus bestimmen → a(x − u)2 + v.

Nullstellen

Normalform → Lösungsformel oder Taschenrechner.

Scheitel berechnen

u = −b2a → v = f(u) → S(u, v). Damit wird aus jeder Normalform eine Scheitelform.

Quadratische Funktionen

Eine Parabel ist eine Normalparabel,
die verschoben und gestreckt wurde.

Mathefrosch f(x) = a(x − u)2 + v
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Zum Üben: das Quiz

Quiz «Quadratische Funktionen»

Parabeln in der Scheitelform: die Gleichung zum Graphen finden, den Graphen zur Gleichung finden oder vier Paare zuordnen – direkt im Browser, auch auf dem Handy. Nach jeder Aufgabe kommt sofort die Auflösung, auf Wunsch Schritt für Schritt.

mathefrosch.com → Quiz «Quadratische Funktionen»

Mit dem Handy scannen