Von der Wertetabelle zum Schnittpunkt
Lineare Funktionen
Zwei Zahlen, ein Dreieck – und die Frage, welches Trotti günstiger ist.
Welches Trotti ist günstiger?
Anbieter 1
1 Fr. fürs Entsperren,
dann 0.40 Fr. pro Minute
Anbieter 2
kein Entsperren,
0.50 Fr. pro Minute
Kommt darauf an, wie lange man fährt.
1
Die Wertetabelle
y = 2x − 3
+1
+1
+1
+1
+1
x
−1
0
1
2
3
4
y
−5
−3
−1
1
3
5
+2
+2
+2
+2
+2
x wächst um 1 → y wächst um 2
bei x = 0 ist y = −3
y = 2x
− 3
die Punkte der Tabelle …
… liegen auf einer Geraden
1 nach rechts → 2 hinauf
Schnitt mit der y-Achse bei −3
Die Gleichung einer Geraden
y =
m · x + b
m = Steigung
x wächst um 1 → y ändert sich um m
b = y-Achsenabschnitt
x = 0 → y = m · 0 + b = b
y = 2x
− 3
→ m = 2,
b = −3
2
Das Steigungsdreieck
y =
23x
+ 1
+3
+3
+3
+3
x
−3
0
3
6
9
y
−1
1
3
5
7
+2
+2
+2
+2
m =
23
← hinauf← nach rechts
Das Steigungsdreieck
y =
23x
+ 1
3 nach rechts, 2 hinauf
noch einmal: 3 nach rechts, 2 hinauf
zusammen: 6 nach rechts, 4 hinauf
23 =
46
Die Steigung aus zwei Punkten
P1(x1, y1)
und P2(x2, y2)
nach rechts: x2
− x1
hinauf: y2
− y1
m =
y2 − y1x2 − x1
P1(−3, −1), P2(6, 5)
m =
5 − (−1)6 − (−3)
=
69
=
23
P1(1, 4), P2(5, −2)
m =
−2 − 45 − 1
=
−64
= −32
m negativ: die Gerade fällt
umgekehrt:
4 − (−2)1 − 5
= 6−4
= −32
TippReihenfolge egal –
aber oben und unten dieselbe.
Und wenn x1 = x2 ist?
P1(2, −1), P2(2, 3)
m =
3 − (−1)2 − 2
= 40
Durch 0 kann man nicht teilen.
Die Senkrechte x = 2
hat keine Steigung.
Zu x = 2
gehören unendlich viele y:
keine Funktion.
3
Wie steil?
Steil oder flach?
m = 1: genau 45°
m = 3: steiler
m = 0.5: flacher
mit Minus: gleich steil,
aber fallend
Je weiter m von 0 weg,
desto steiler.
desto steiler.
Was m verrät
steigend: m > 0
m > 1steiler als 45°
m = 1genau 45°
0 < m < 1flacher als 45°
fallend: m < 0
m < −1steiler als 45°
m = −1genau 45°
−1 < m < 0flacher als 45°
m = 0waagrecht
Wie steil ist das in echt?
Strasse
Pilatusbahn
y = x
Stoosbahn
Bild
Steigung
10 %
48 %
100 %
110 %
m
0.1
0.48
1
1.1
Winkel
5.7°
25.6°
45°
47.7°
10 % =
10100
= 0.1
100 nach rechts, 10 hinauf
Wussten Sie? Die Pilatusbahn ist mit 48 % die steilste Zahnradbahn der Welt
(seit 1889). Die Stoosbahn bei Schwyz schafft sogar 110 % – steiler als 45°. Seit 2017
ist sie die steilste Standseilbahn der Welt.
4
Geraden zeichnen
Rezept
Eine Gerade zeichnen
- b auf der y-Achse markieren
- m als Bruch schreiben
- Steigungsdreieck: Nenner nach rechts, Zähler hinauf
- die Punkte verbinden, über das ganze Bild
Minusheisst: hinunter statt hinauf.
TippDas Dreieck geht auch rückwärts: nach links, dann in die
Gegenrichtung.
y =
34x
− 2
b = −2: Start auf der y-Achse
m =
34:
4 nach rechts, 3 hinauf
verbinden
rückwärts: 4 nach links, 3 hinunter
y =
−3x
+ 4
b = 4: Start auf der y-Achse
m =
−3 =
−31:
1 nach rechts, 3 hinunter
noch einmal: 1 nach rechts, 3 hinunter
verbinden
y =
−25x
+ 3
b = 3: Start
m =
−25:
5 nach rechts, 2 hinunter
verbinden
rückwärts:
5 nach links, 2 hinauf
y =
2.5x − 3
b = −3: Start auf der y-Achse
m = 2.5 =
52
2 nach rechts, 5 hinauf
verbinden
TippDezimalzahl
zuerst als Bruch schreiben.
y = 2
b = 2: Start auf der y-Achse
m = 0:
nach rechts, aber 0 hinauf
die Gerade ist waagrecht
x = 3 ist senkrecht:
keine Steigung, keine Funktion
5
Die Gleichung ablesen
Umgekehrt: vom Bild zur Gleichung
b an der y-Achse ablesen:
b = 3
Dreieck bis zum nächsten Gitterpunkt:
4 nach rechts, 1 hinauf
m =
14
y =
14x
+ 3
Vom Bild zur Gleichung
b = 2
3 nach rechts, 2 hinunter
m =
−23
(hinunter: Minus)
y =
−23x
+ 2
6
Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen
5x + 10 = 0
5x = −10
| −10
x =
−105
= −2
Probe: 5 · (−2) + 10
= 0 ✓
Lösung: eine Zahl x, welche die Gleichung erfüllt.
Lineare Gleichungssysteme
(1)4x + 2y = 8
(2)x − 3y = 9
Lösung: ein Paar (x, y), welches beide Gleichungen erfüllt.
x = 3,
y = −2
Probe (1): 4 · 3 +
2 · (−2) = 8 ✓
Probe (2): 3 −
3 · (−2) = 9 ✓
Wie kann man ein Gleichungssystem lösen?
Zum Beispiel graphisch.
Eine Gleichung, unendlich viele Lösungen
4x +
2y = 8
passende Paare (x, y):
(−1, 6)(0, 4)
(1, 2)(2, 0)
(3, −2)(4, −4)
Sie liegen alle auf einer Geraden:
y
= −2x + 4
Zwei Gleichungen, ein gemeinsamer Punkt
(1)4x + 2y = 8
(2)x − 3y = 9
Paare für (2):
(0, −3)(3, −2)
(6, −1)
wieder eine Gerade
S(3, −2)
liegt auf beiden Geraden:
er erfüllt beide Gleichungen.
L =
{(3, −2)}
Rezept
Ein Gleichungssystem graphisch lösen
- beide Gleichungen nach y auflösen
- beide Geraden zeichnen: b und Steigungsdreieck
- den Schnittpunkt ablesen
- Probe in beiden Gleichungen
Schritt 1: nach y auflösen
(1) 4x + 2y
= 8
2y = −4x
+ 8 | −4x
y =
−4x + 82
y =
−2x + 4
(2) x − 3y
= 9
−3y =
−x + 9 | −x
y =
−x + 9−3
y =
13x
− 3
(1)
y = −2x + 4
b = 4;
1 nach rechts, 2 hinunter
(2)
y = 13x
− 3
b = −3;
3 nach rechts, 1 hinauf
abgelesen: S(3, −2)
Probe (1): 4 · 3 +
2 · (−2) = 8 ✓
Probe (2): 3 −
3 · (−2) = 9 ✓
Wie viele Lösungen?
y = x + 1
y = −2x + 4
y = −2x + 4
verschiedene Steigungen
genau eine Lösung
genau eine Lösung
y = 2x + 1
y = 2x − 2
y = 2x − 2
gleiche Steigung, anderes b
keine Lösung
keine Lösung
x + y = 3
2x + 2y = 6
2x + 2y = 6
beide: y = −x + 3
unendlich viele Lösungen
unendlich viele Lösungen
7
Rechnen statt zeichnen
Gleichsetzen
(1)y = −2x + 4
(2)y =
13x − 3
−2x + 4
= 13x
− 3 im Schnittpunkt ist y gleich
−6x + 12 =
x − 9 | ·3
−7x =
−21 | −x −12
x =
−21−7
= 3
y = −2 · 3
+ 4 = −2 in (1) einsetzen
S(3, −2) – genau wie in der Zeichnung.
Wenn die Zeichnung nicht reicht
(1) 3x − y
= 1 → y =
3x − 1
(2) x + 2y
= 4 → y =
−12x
+ 2
abgelesen: S
≈ (0.9, 1.6)
S liegt nicht auf einem Gitterpunkt:
Ablesen geht nur ungefähr.
Gleichsetzen liefert S genau
3x − 1
= −12x
+ 2
6x − 2 =
−x + 4 | ·2
7x = 6 | +x +2
x =
67
≈ 0.86
y = 3 ·
67 − 1
= 117
≈ 1.57
S(67,
117)
Zurück zu den Trottis
Anbieter 1: y = 0.4x + 1
Anbieter 2: y = 0.5x
0.5x
= 0.4x + 1
| ·10
5x = 4x
+ 10 → x = 10
S(10, 5):
10 min kosten bei beiden 5 Fr.
unter 10 min: Anbieter 2 ist günstiger
über 10 min: Anbieter 1 ist günstiger
Zum Mitnehmen
Vier Kochrezepte
Gerade zeichnen
b auf der y-Achse markieren → Steigungsdreieck: Nenner nach rechts, Zähler hinauf (Minus: hinunter) → verbinden.
Gleichung ablesen
b an der y-Achse ablesen → Dreieck bis zum nächsten Gitterpunkt → m = hinaufnach rechts.
Steigung aus zwei Punkten
m = y2 − y1x2 − x1.
Gleichungssystem
Beide nach y auflösen → zeichnen → Schnittpunkt ablesen → Probe. Genau: die rechten Seiten gleichsetzen.
Lineare Funktionen
b sagt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
m sagt, wie steil sie steigt oder fällt.
y = m · x
+ b
Weiter geht’s
Zum Üben: das Quiz
Quiz «Lineare Funktionen»
Die Gleichung zum Graphen finden, den Graphen zur Gleichung finden oder vier Paare zuordnen – direkt im Browser, auch auf dem Handy. Nach jeder Aufgabe kommt sofort die Auflösung, auf Wunsch mit dem Steigungsdreieck Schritt für Schritt.
Mit dem Handy scannen