Vom Integralzeichen zur Fläche
Integral
rechnung
Was das Integralzeichen bedeutet – und wie man damit eine Fläche berechnet.
Was verrät der Term?
f(x)
=
−
1
2
x
3
+
4x
+
1
Symmetrie?
Maximale Anzahl Nullstellen?
Maximale Anzahl Extrema?
Durchgang durch die y‑Achse?
Verlauf: kommt von links oben/unten
Verlauf: geht nach rechts oben/unten
Gesucht:
roter
Flächeninhalt
f(x)
=
−
1
2
x
3
+
4x
+
1
Das Integral
2
1
(
−
1
2
x
3
+
4x
+
1
)
dx
???, wird klar bei der Riemannsumme
Die Rechnung
2
1
(
−
1
2
x
3
+
4x
+
1
)
dx
=
−
1
8
x
4
+
2x
2
+
x
2
1
=
obere Grenze
(
−
1
8
·
2
4
+
2
·
2
2
+
2
)
−
untere Grenze
(
−
1
8
·
1
4
+
2
·
1
2
+
1
)
=
8
−
2.875
=
5.125
A
=
5.125
Ergebnis
f(x)
=
−
1
2
x
3
+
4x
+
1
A
=
5.125
Schätzen:
Rechteck 1
·
5
=
5
Zum Mitnehmen
Rezept: Fläche unter einer Kurve
Skizze:
Grenzen markieren, Fläche schraffieren – liegt sie über der x‑Achse?
Integral
aufschreiben
Stammfunktion
bilden
Obere Grenze
einsetzen
minus untere Grenze
einsetzen
Ausrechnen
und mit der Skizze vergleichen
Aufgabe
Jetzt rechnest du
Gegeben ist die Funktion
f(x)
=
−0.2x
2
+
5
. Wie gross ist der Inhalt der Fläche zwischen der x‑Achse und der Funktion zwischen
x
=
2
und
x
=
4
?
Auflösung
4
2
(
−0.2x
2
+
5
)
dx
=
4
2
(
−
1
5
x
2
+
5
)
dx
=
−
1
15
x
3
+
5x
4
2
=
obere Grenze
(
−
1
15
·
4
3
+
5
·
4
)
−
untere Grenze
(
−
1
15
·
2
3
+
5
·
2
)
≈
15.733
−
9.467
≈
6.267
A
≈
6.267
