Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte
Gleichungssysteme lösen
Einsetzverfahren und Additionsverfahren – und wann welches passt.
1
Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen
4x − 6 = 10
4x = 16
| +6
x =
164
= 4
Probe: 4 · 4 − 6
= 10 ✓
Lösung: eine Zahl x, welche die Gleichung erfüllt.
Eine Gleichung, zwei Unbekannte
x + y = 6
Passende Paare (x, y):
(0, 6)(1, 5)
(2, 4)(3, 3)
(4, 2)(5, 1)
(6, 0)(−1, 7)
(2.5, 3.5)…
Unendlich viele Paare: Eine Gleichung legt x und y nicht fest.
Lineare Gleichungssysteme
(1)x + y = 6
(2)x − y = 2
Paare für (1):
(0, 6)
(1, 5)
(2, 4)
(3, 3)
(4, 2)
(5, 1)
(6, 0)
…
Lösung: ein Paar (x, y), welches beide Gleichungen erfüllt.
Probe (1): 4 + 2 = 6 ✓ Probe (2): 4 − 2 = 2 ✓
L = {(4, 2)}
Raten reicht nicht
(1)2x + 3y = 7
(2)9x + 11y = 29
Lösung: x = 2,
y = 1
Das errät (fast) niemand. Es braucht ein Verfahren.
Eine Unbekannte muss weg
Einsetzverfahren
Eine Gleichung nach x oder y auflösen und in die andere Gleichung einsetzen.
Additionsverfahren
Die beiden Gleichungen so addieren, dass x oder y wegfällt.
Übrig bleibt eine Gleichung mit einer Unbekannten – und die kannst du lösen.
2
Einsetzverfahren
Rezept
Einsetzverfahren
- Eine Gleichung nach x oder y auflösen.
- In die andere Gleichung einsetzen: Es bleibt eine Unbekannte.
- Diese Gleichung lösen.
- Zurück einsetzen: Das gibt die zweite Unbekannte.
- Probe.
Einsetzverfahren
Beispiel 1: y steht schon allein
(1)y = 2x − 3
(2)3x + 2y = 22
3x + 2(2x − 3)
= 22(1) in (2) einsetzen
3x + 4x − 6
= 22ausmultiplizieren
7x = 28zusammenfassen, | +6
x =
287
= 4
y = 2 · 4 − 3
= 5in (1) einsetzen
L = {(4, 5)}
Probe (2): 3 · 4 + 2 · 5
= 22 ✓
Einsetzverfahren
Beispiel 2: zuerst auflösen
(1)4x + 3y = 5
(2)x − 2y = 4
x = 2y + 4
(2) nach x auflösen
4(2y + 4)
+ 3y = 5in (1) einsetzen
8y + 16 + 3y
= 5ausmultiplizieren
11y = −11
zusammenfassen, | −16
y =
−1111
= −1
x = 2 · (−1)
+ 4 = 2
in x = 2y + 4 einsetzen
L = {(2, −1)}
Probe (1): 4 · 2 + 3 · (−1)
= 5 ✓
Einsetzverfahren
Beispiel 3: Brüche, die nicht aufgehen
(1)7x + 3y = 1
(2)3x − 17y = 37
y =
1 − 7x3
(1) nach y auflösen
x =
1 − 3y7
oder nach x
3x − 17 ·
1 − 7x3
= 37in (2) einsetzen
Brüche, die nicht aufgehen: Hier wählt man besser ein anderes Verfahren.
Einsetzverfahren
Aufgabe 1
(1)3x − y = 7
(2)2x + 3y = 12
Jetzt selber rechnen!
Aufgabe 1
Musterlösung
(1)3x − y = 7
(2)2x + 3y = 12
y = 3x − 7
(1) nach y auflösen
2x + 3(3x − 7)
= 12in (2) einsetzen
2x + 9x − 21
= 12ausmultiplizieren
11x = 33
zusammenfassen, | +21
x =
3311
= 3
y = 3 · 3 − 7
= 2
in y = 3x − 7 einsetzen
L = {(3, 2)}
Probe (2): 2 · 3 + 3 · 2
= 12 ✓
Einsetzverfahren
Aufgabe 2
(1)x + 4y = −2
(2)3x − 2y = 15
Jetzt selber rechnen!
Aufgabe 2
Musterlösung
(1)x + 4y = −2
(2)3x − 2y = 15
x = −4y − 2
(1) nach x auflösen
3(−4y − 2)
− 2y = 15in (2) einsetzen
−12y − 6
− 2y = 15ausmultiplizieren
−14y = 21
zusammenfassen, | +6
y =
21−14
= −1.5
x = −4 · (−1.5)
− 2 = 4
in x = −4y − 2 einsetzen
L = {(4, −1.5)}
Probe (2): 3 · 4 − 2 · (−1.5)
= 15 ✓
3
Additionsverfahren
Rezept
Additionsverfahren
- Die Gleichungen untereinander: x unter x, y unter y.
- Falls nötig multiplizieren, bis vor x oder y Gegenzahlen stehen (z. B. 12y und −12y).
- Addieren: Diese Unbekannte fällt weg.
- Die Gleichung lösen.
- In eine Gleichung einsetzen: Das gibt die zweite Unbekannte.
- Probe.
Additionsverfahren
Beispiel 1: Gegenzahlen stehen schon da
(1)3x
+ y
=10
(2)2x
− y
=10
+
5x
=20
x =
205
= 4
3 · 4 + y
= 10in (1) einsetzen
y =
−2
| −12
L = {(4, −2)}
Probe (2): 2 · 4 − (−2)
= 10 ✓
Additionsverfahren
Beispiel 2: zuerst multiplizieren
(1)3x+ 4y
=−1
| · 3
(2)2x− 3y
=5
| · 4
9x
+ 12y
=−3
8x
− 12y
=20
+
17x
=17
x =
1717
= 1
3 · 1 + 4y
= −1in (1) einsetzen
4y = −4
| −3
y =
−44
= −1
L = {(1, −1)}
Probe (2): 2 · 1 − 3 · (−1)
= 5 ✓
Additionsverfahren
Aufgabe 3
(1)5x + 2y = 16
(2)3x − y = 3
Jetzt selber rechnen!
Aufgabe 3
Musterlösung
(1)5x+ 2y
=16
(2)3x− y
=3
| · 2
5x
+ 2y
=16
6x
− 2y
=6
+
11x
=22
x =
2211
= 2
5 · 2 + 2y
= 16in (1) einsetzen
2y = 6
| −10
y =
62
= 3
L = {(2, 3)}
Probe (2): 3 · 2 − 3
= 3 ✓
Additionsverfahren
Aufgabe 4
(1)4x + 3y = 1
(2)5x + 2y = 10
Jetzt selber rechnen!
Aufgabe 4
Musterlösung
(1)4x+ 3y
=1
| · 2
(2)5x+ 2y
=10
| · (−3)
8x
+ 6y
=2
−15x
− 6y
=−30
+
−7x
=−28
x =
−28−7
= 4
4 · 4 + 3y
= 1in (1) einsetzen
3y = −15
| −16
y =
−153
= −5
L = {(4, −5)}
Probe (2): 5 · 4 + 2 · (−5)
= 10 ✓
4
Wie viele Lösungen?
Zur Erinnerung: eine Gleichung
2x + 1 = 7
2x = 6
x = 3
2x = 6
x = 3
genau eine Lösung
2x + 1 = 2x + 5
1 = 5
falsch
1 = 5
falsch
keine Lösung
2(x + 1) = 2x + 2
2 = 2
wahr
2 = 2
wahr
jedes x passt:
unendlich viele Lösungen
unendlich viele Lösungen
Keine Lösung
(1)2x− y
=3
| · 2
(2)−4x+ 2y
=5
4x
− 2y
=6
−4x
+ 2y
=5
+
0x+ 0y
=11
0 = 11
x und y fallen weg
Falsch: Kein Paar
erfüllt beide Gleichungen.
L = { }
Unendlich viele Lösungen
(1)x + 3y = 4
(2)2x + 6y = 8
x = 4 − 3y
(1) nach x auflösen
2(4 − 3y)
+ 6y = 8in (2) einsetzen
8 − 6y
+ 6y = 8ausmultiplizieren
8 = 8
y fällt weg
Wahr – für jedes y.
Jedes Paar, das (1) erfüllt:
(4, 0)(1, 1)
(−2, 2)(7, −1)
…
Drei Fälle
eine Lösung
Die Rechnung endet mit
x = … und y = …
x = … und y = …
Die Geraden schneiden sich.
keine Lösung
x und y fallen weg,
falsch: z. B. 0 = 11
falsch: z. B. 0 = 11
Die Geraden sind parallel.
unendlich viele
x und y fallen weg,
wahr: z. B. 8 = 8
wahr: z. B. 8 = 8
Die Geraden liegen aufeinander.
5
Welches Verfahren?
Der kürzere Weg
Welches Verfahren wann?
1 Steht schon «x = …» oder «y = …» da?
Einsetzen
2 Hat x oder y die Vorzahl 1 oder −1?
Einsetzen: auflösen ohne Bruch
3 Stehen vor x oder y schon Gegenzahlen?
Addieren, sofort
4 Sonst
Addieren: zuerst multiplizieren
Beide Verfahren führen zum Ziel. Es geht um den kürzeren Weg.
Der kürzere Weg
Welches Verfahren passt?
a)
(1)x = 3y − 2
(2)4x − 5y = 6
Einsetzen: x steht schon allein.
b)
(1)6x + 5y = 4
(2)3x − 5y = 14
Addieren: 5y und −5y sind Gegenzahlen.
c)
(1)2x − y = 1
(2)7x + 3y = 23
Einsetzen: y hat die Vorzahl −1.
d)
(1)5x + 4y = 6
(2)3x + 7y = −1
Addieren: (1) · 3 und (2) · (−5).
Zum Mitnehmen
Zwei Rezepte, drei Fälle
Einsetzverfahren
Eine Gleichung nach x oder y auflösen → in die andere einsetzen → lösen → zurück einsetzen → Probe.
Additionsverfahren
Multiplizieren, bis vor x oder y Gegenzahlen stehen → addieren → lösen → einsetzen → Probe.
Wie viele Lösungen?
Fallen x und y beide weg: falsche Aussage → keine Lösung, wahre Aussage → unendlich viele.
Gleichungssysteme
Eine Unbekannte muss weg:
einsetzen oder addieren.
Viel Erfolg!