Gleichungen lösen
Die Jagd nach der Formel – und was man tut, wenn es keine gibt.
Und jetzt?
um 780 – um 850, Bagdad
- 820 schreibt er in Bagdad ein Buch über al‑ǧabr – das „Ergänzen“ einer Gleichung. Daraus wird unser Wort Algebra.
- Aus seinem latinisierten Namen Algorismi wird das Wort Algorithmus.
- Er hat keine Formelzeichen. Kein x, kein =, keine negativen Zahlen. Alles steht in Worten da.
- Seinen Lösungsweg begründet er mit einem Bild: einem Quadrat, das man ergänzt.
Darauf wartet die Mathematik 700 Jahre.
1500 – 1557
1501 – 1576
- 1535 Tartaglia gewinnt ein öffentliches Rechenduell: er kann Gleichungen 3. Grades lösen – und verschweigt, wie.
- 1539 Cardano bittet ihn um den Weg. Tartaglia gibt ihn heraus, als verschlüsseltes Gedicht und nur gegen einen Schweigeschwur.
- 1545 Cardano druckt die Formel trotzdem – in seinem Buch Ars Magna.
- 1547 Tartaglia fordert ihn zum Rechenduell – mit Aufgaben, nicht mit Waffen. Cardano schickt seinen Schüler Ferrari. Die beiden schicken einander je 31 Aufgaben und ein Jahr lang Beschimpfungen.
- 1548 Am 10. August treten sie in einer Mailänder Kirche gegeneinander an, vor Publikum und mit dem Gouverneur als Schiedsrichter. Schon am ersten Tag ist Ferrari klar überlegen – Tartaglia verlässt Mailand noch in derselben Nacht.
Zuerst wird das x2 wegtransformiert, bis die Gleichung so aussieht: x3 + p·x + q = 0
Und das ist erst eine der drei Lösungen.
Die erste Lösung war x1 = u + v.
Man sieht die Lösung sofort: x = 4
Cardanos Formel sagt dazu:
Der Weg zur Zahl 4 führt durch die Wurzel aus −121.
Bombelli rechnet 1572 als Erster damit weiter – und es geht auf. Die komplexen Zahlen entstehen nicht aus Neugier, sondern aus Not.
- Lodovico Ferrari (1522–1565) kommt mit 14 als Diener in Cardanos Haus.
- Mit 18 löst er den Grad 4 – noch bevor der Grad 3 gedruckt ist.
- Sein Trick: die Gleichung 4. Grades auf eine Gleichung 3. Grades zurückführen. Die kann Cardano schon.
Und die Formel?
Ausgeschrieben füllt sie mehrere Seiten. Niemand benutzt sie. Man rechnet Ferraris Weg nach – Schritt für Schritt.
Nach 1545 sucht ganz Europa die nächste Formel.
Fast 300 Jahre lang findet sie niemand.
1802 – 1829, Norwegen
- Abel sucht die Formel nicht mehr. Er beweist, dass keine existieren kann.
- 1824 Er lässt den Beweis auf eigene Kosten drucken – sechs Seiten, so knapp gefasst, dass ihn fast niemand versteht.
- Er schickt ihn an Gauss. Der legt das Heft ungeöffnet beiseite.
- Eine feste Stelle bekommt er nie. Er lebt von Privatstunden, während sein Berliner Förderer Crelle jahrelang für ihn wirbt.
- 1829 Am 6. April stirbt Abel mit 26 an Tuberkulose. Crelle hatte die Berufung an die Universität Berlin endlich durchgebracht – sein Brief trifft zwei Tage nach dem Tod ein.
1811 – 1832, Paris
- Zweimal an der École polytechnique durchgefallen. Seine eingereichten Arbeiten gehen der Akademie verloren.
- Seine Einsicht: entscheidend ist nicht die Gleichung, sondern wie sich ihre Lösungen vertauschen lassen.
- 1832 In der Nacht vor einem Duell schreibt er die Theorie nieder. Am nächsten Morgen wird er angeschossen und stirbt einen Tag später, 20 Jahre alt.
- Gelesen und verstanden wird das Heft erst 14 Jahre nach seinem Tod.
Das ist kein „noch nicht gefunden“.
Das ist bewiesen.
Keine Formel heisst nicht: keine Lösung.
Geht doch – Spezialfall
Geht nicht – allgemein
Keine Formel – aber die Lösung existiert: x ≈ 1.1673
Die Zahl ist da. Man kann sie nur nicht mit Wurzeln hinschreiben.
1643 – 1727, England
Nicht: Wie lautet die Formel?
Sondern: Wie komme ich der Lösung näher?
Newton stellt sie 1669 – und beantwortet sie an genau dieser Gleichung:
Keine Formel – eine Näherung.
Eine Tangente liefert die Idee zur Näherung – und dazu braucht es die Differentialrechnung.
| Schritt | Näherung |
|---|---|
| x0 | 2.0000000000 |
| x1 | 2.1000000000 |
| x2 | 2.0945681211 |
| x3 | 2.0945514817 |
| x4 | 2.0945514815 |
Jeder Schritt verdoppelt die Zahl der richtigen Stellen.
Grad 2
Grad 3 und 4
Näherung
ab Grad 5 unmöglich
warum es nicht geht
rechnet Newton
Wenn keine Formel geht, ist das Newton-Verfahren
die letzte Hoffnung.
Und was heisst das für uns?
Viel Erfolg!