Vom Schachtelfalten zur Ableitung
Extremwertaufgaben lösen
Eine Schachtel, ein Rechteck und ein kürzester Abstand – dreimal dasselbe Rezept.
1
Die Schachtel
Aufgabe
Bei einem Karton von 30 cm Länge und
20 cm Breite werden in den Ecken Quadrate weggeschnitten. Die verbleibende Figur
wird zu einer oben offenen Schachtel gefaltet.
Wie soll ich schneiden, damit ein möglichst grosses Volumen entsteht?
Aus dem Karton wird eine Schachtel
Schachtel 1 x = 2 cm
Schachtel 2 x = 4 cm
Schachtel 3 x = 6 cm
Schachtel 4 x = 8 cm
Welche Schachtel fasst am meisten?
1x = 2 cm
26 · 16 · 2832 cm³
2x = 4 cm
22 · 12 · 41056 cm³
3x = 6 cm
18 · 8 · 6864 cm³
4x = 8 cm
14 · 4 · 8448 cm³
Geht es noch besser?
Analyse
Der Wert x kann zwischen 0 cm und 10 cm liegen.
x = 0: kein Rand, also V = 0
x = 10: kein Boden (20 − 2 · 10 = 0), also V = 0
Dazwischen muss irgendwo ein grösstes Volumen liegen.
0 < x < 10
Theoretisch ist es einfach:
Funktion finden, die das Volumen
beschreibt,
ableiten, fertig …
Lösungsrezept
Sechs Schritte
- 1Hauptbedingung Welche Grösse soll maximal oder minimal werden? Die Formel dafür.
- 2Nebenbedingung Zusammenhänge zwischen den Variablen, bis nur eine übrig bleibt.
- 3Zielfunktion Einsetzen: eine Funktion mit einer Variablen – und wo sie Sinn ergibt.
- 4Extremstelle Ableiten, die Ableitung Null setzen, die Gleichung lösen.
- 5Max oder Min, Plausibilität Mit der zweiten Ableitung entscheiden. Passt der Wert zur Aufgabe?
- 6Lösung Die Frage der Aufgabe beantworten.
1Hauptbedingung
Das Volumen soll maximal werden.
V = a ·
b · c
drei Variablen – übrig bleiben soll eine
2Nebenbedingungen
a = 30 − 2x
b = 20 − 2x
c = x
3Zielfunktion
| V(x) | = | (30 − 2x) · (20 − 2x) · x |
| = | (600 − 60x − 40x + 4x2) · x | |
| = | (4x2 − 100x + 600) · x | |
| V(x) = 4x3 − 100x2 + 600x |
sinnvoll für 0 < x < 10
Der Graph der Zielfunktion
Was bedeutet die x-Koordinate?
die Seite der Eckquadrate
Was bedeutet die y-Koordinate?
das Volumen der Schachtel
Die vier Schachteln:
1, 2, 3, 4 liegen auf dem Graphen.
4Extremstelle
| V(x) | = | 4x3 − 100x2 + 600x | |
| V′(x) | = | 12x2 − 200x + 600 | |
| 12x2 − 200x + 600 | = | 0 | Ableitung Null setzen |
| x1,2 | = | 200 ± 2002 − 4 · 12 · 6002 · 12 | Lösungsformel |
| = | 200 ± 1120024 | ||
| x1 ≈ 3.92 x2 ≈ 12.74 |
Interpretation
x1 ≈ 3.92: Hochpunkt
x2 ≈ 12.74: Tiefpunkt
nicht zwischen 0 und 10
5Max oder Min, Plausibilität
| V″(x) | = | 24x − 200 |
| V″(3.92) | ≈ | −106 < 0 |
| Maximum |
x2 ≈ 12.74 ist unmöglich:
Breite 20 − 2 · 12.74 < 0
6Lösung
Quadrate mit der Seite x ≈ 3.92 cm wegschneiden.
Wie gross ist dann das Volumen?
V ≈ (30 − 7.84) · (20 − 7.84) · 3.92
V ≈ 22.16 · 12.16 · 3.92
V ≈ 1056.3 cm³
Schachtel 2: 1056 cm³
Nahe beim Maximum ändert sich wenig
x = 3.5 cm: 1046.5 cm³
x ≈ 3.92 cm: 1056.3 cm³
x = 4 cm: 1056 cm³
x = 4.5 cm: 1039.5 cm³
2
Rechteck unter einer Kurve
Aufgabe
Unter dem Graphen von
f(x) = −0.05x4
− 0.5x2 + 10
liegt ein Rechteck. Die Grundseite liegt auf der x-Achse, die beiden oberen Ecken liegen auf dem Graphen.
Wie gross kann seine Fläche höchstens werden?
Ausprobieren
u
Breite
Höhe f(u)
Fläche
1
2
9.45
18.9
2
4
7.2
28.8
3
6
1.45
8.7
Alle Rechtecke durchprobieren
A = ?
Rechteck unter der Kurve
1Hauptbedingung
Die Fläche soll maximal werden.
A = 2u ·
v
Breite 2u, Höhe v
Rechteck unter der Kurve
2Nebenbedingung
P liegt auf dem Graphen:
v = f(u)
v = −0.05u4
− 0.5u2 + 10
Rechteck unter der Kurve
3Zielfunktion
| A(u) | = | 2u · (−0.05u4 − 0.5u2 + 10) |
| A(u) = −0.1u5 − u3 + 20u |
sinnvoll für 0 < u < 3.16 bis zur Nullstelle von f
Der Graph von A
A(u) = −0.1u5 − u3 + 20u
u = 1: A = 18.9
u = 2: A = 28.8
u = 3: A = 8.7
Liegt das Maximum genau bei 2?
Rechteck unter der Kurve
4Extremstelle
| A(u) | = | −0.1u5 − u3 + 20u | |
| A′(u) | = | −0.5u4 − 3u2 + 20 | |
| −0.5u4 − 3u2 + 20 | = | 0 | | · (−2) |
| u4 + 6u2 − 40 | = | 0 |
Nur u4 und u2: Substitution z = u2
Rechteck unter der Kurve
Substitution: aus u2 wird z
| u4 + 6u2 − 40 | = | 0 | |
| (u2)2 + 6u2 − 40 | = | 0 | u4 = (u2)2 |
| z2 + 6z − 40 | = | 0 | z = u2 |
| (z + 10)(z − 4) | = | 0 | |
| z | = | 4 | z = −10 geht nicht, denn z = u2 ≥ 0 |
| u2 | = | 4 | |
| u | = | 2 | u = −2 entfällt, u > 0 |
Rechteck unter der Kurve
5Max oder Min, Plausibilität
| A″(u) | = | −2u3 − 6u |
| A″(2) | = | −16 − 12 = −28 < 0 |
| Maximum |
u = 2 liegt zwischen 0 und 3.16. ✓
Rechteck unter der Kurve
6Lösung
Höhe: f(2) = −0.8 − 2 + 10 = 7.2
Breite: 2 · 2 = 4
A = 4 · 7.2 = 28.8
3
Der kürzeste Abstand
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion
f(x) =
1x2
Welche Punkte F des Graphen haben vom Punkt P(0, 0.5)
den kleinsten Abstand?
Abstand von P zu F
d = ?
Kürzester Abstand
1Hauptbedingung
d soll minimal werden.
Pythagoras:
d =
x2
+ (y − 0.5)2
Kürzester Abstand
2Nebenbedingung
F liegt auf dem Graphen:
y = 1x2
Kürzester Abstand
3Zielfunktion
| d(x) | = | x2 + (1x2 − 0.5)2 |
| = | x2 + 1x4 − 1x2 + 0.25 |
sinnvoll für alle x ≠ 0
Kürzester Abstand
Welche Schwierigkeit?
Die Wurzel: Ableiten geht nur mit der Kettenregel.
d′(x) =
2x − 4x−5 + 2x−32 · x2 + x−4
− x−2 + 0.25
Wir brauchen eine Alternative.
Der Trick
Wurzel weglassen
d(x) = h(x)
h(x) = x2 + x−4
− x−2 + 0.25
Das Minimum liegt an derselben Stelle.
Wurzel weglassen
Die Wurzel wächst: Wo h am kleinsten ist, ist auch d am kleinsten.
Am Schluss die Wurzel wieder ziehen!
Am Schluss die Wurzel wieder ziehen!
Kürzester Abstand
4Extremstelle
| h(x) | = | x2 + x−4 − x−2 + 0.25 | |
| h′(x) | = | 2x − 4x−5 + 2x−3 | |
| 2x − 4x−5 + 2x−3 | = | 0 | | · x5 |
| 2x6 + 2x2 − 4 | = | 0 | | · 0.5 |
| x6 + x2 − 2 | = | 0 | |
| z3 + z − 2 | = | 0 | z = x2 |
| z | = | 1 | Probe: 1 + 1 − 2 = 0 |
| x2 | = | 1 | |
| x | = | ±1 |
Kürzester Abstand
5Max oder Min, Plausibilität
| h″(x) | = | 2 + 20x−6 − 6x−4 |
| h″(±1) | = | 2 + 20 − 6 = 16 > 0 |
| Minimum |
Zwei Punkte: Graph und P liegen symmetrisch zur y-Achse.
Kürzester Abstand
6Lösung
y = 1(±1)2 = 1
F1(1, 1)
und F2(−1, 1)
d = h(1)
= 1.25
d ≈ 1.12
Zum Mitnehmen
Das Rezept
- 1Hauptbedingung Formel für die Grösse, die maximal oder minimal werden soll
- 2Nebenbedingung Zusammenhänge, bis nur eine Variable bleibt
- 3Zielfunktion einsetzen, sinnvollen Bereich angeben
- 4Extremstelle ableiten, Ableitung Null setzen, lösen
- 5Max oder Min, Plausibilität zweite Ableitung, passt der Wert zur Aufgabe?
- 6Lösung die Frage beantworten
Extremwertaufgaben
Die grösste Schachtel, das grösste Rechteck,
der kürzeste Abstand:
gefunden mit der Ableitung.
f′(x) = 0
Das ist eine wichtige Anwendung der Differentialrechnung!