Funktionen
Ablesen bei
Funktionen
Stelle, Wert, Nullstelle – alles am Graphen.
Die Wörter
Stelle und Wert
x
Stelle
was man einsetzt – auf der x-Achse
f(x)
Wert an der Stelle x
was herauskommt – auf der y-Achse
(x, f(x))
Punkt des Graphen
Der Graph besteht aus allen diesen Punkten.
Die Parabelf(x) = −0.25x2 + 2x
f(2) = −0.25 · 22
+ 2 · 2 = −1 + 4 = 3
An der Stelle 2 ist der Wert 3 – der Punkt (2, 3).
Zu jeder Stelle gehört (sofern definiert) genau ein Wert.
2Stelle
3Wert
(2, 3)
Den Graphen zeichnen
Wie gross werden die Werte?
f(x) = 0.2x4
− 1.5x2 + 0.8
Erster Versuch: Wertetabelle für
−5 ≤ x ≤ 5 mit dem TR
x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
f(x)
88.3
28
3.5
−2
−0.5
0.8
−0.5
−2
3.5
28
88.3
Für −3 ≤ x ≤ 3 liegen
die Werte der Tabelle zwischen −2 und 3.5.
Bei ±4 und ±5 werden sie schnell gross: 28 und 88.3.
Vorschlag
−3.5 ≤ x ≤ 3.5
und −3 ≤ y ≤ 7
Den Graphen zeichnen
Der Graph von f
f(x) = 0.2x4
− 1.5x2 + 0.8
- Punkte aus der Wertetabelle eintragen
- Die Punkte rund verbinden – ein Graph hat in der Regel keine Ecken
Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse: f(−x) = f(x).
Spiegelachse
1
Wo trifft der Graph die Achsen?
Nullstellen und y-Achsenabschnitt
Definition
Nullstelle
Eine Nullstelle ist eine Stelle x
mit f(x) = 0.
Am Graphen: Dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse. Darum heisst sie auch x-Achsenabschnitt.
Beispiel
f(x) = −0.5 · x − 1
−0.5 · x − 1=0
| + 1
−0.5 · x=1
| : (−0.5)
x=−2
x = −2
Nullstellen
Rechnen oder ablesen?
Rechnen hiesse, die Gleichung f(x) = 0 zu lösen:
0.2x4
− 1.5x2 + 0.8 = 0
Solche Gleichungen sind oft schwierig. Dann bleibt das Ablesen am Graphen.
x1 ≈ −2.6
x2 ≈ −0.8
x3 ≈ 0.8
x4 ≈ 2.6
Abgelesen ist gerundet: ≈ statt =.
x1
x2
x3
x4
y-Achsenabschnitt
Woher kommt der y-Achsenabschnitt?
Auf der y-Achse ist x = 0. Also 0 einsetzen:
f(0) =
0.2 · 04 − 1.5 · 02
+ 0.8 = 0.8
y-Achsenabschnitt = f(0)
Der y-Achsenabschnitt ist der Wert an der Stelle 0.
Achtung: Der Wert an der Stelle 0 ist keine Nullstelle!
x = 0
f(0) = 0.8
Nullstellen
Die beiden Achsen
x-Achsenabschnitt und y-Achsenabschnitt
x-Achsenabschnitt= Nullstelle
y-Achsenabschnitt= f(0)
Auf der Achse gilt
y = 0
x = 0
Gesucht
die Stellen x mit f(x) = 0
der Wert an der Stelle 0
So geht es
Gleichung lösen – oft nur ablesen
0 einsetzen
Wie viele?
keine, eine oder mehrere
höchstens einer
Im Beispiel
≈ −2.6, −0.8, 0.8, 2.6
f(0) = 0.8
2
Wie viel? und Wo?
Zwei Fragen an den Graphen
Wie viel ist der Wert an der Stelle …?
Gegeben x, gesucht y
Wie viel ist der Wert an der Stelle 2?
gegeben
die Stelle x = 2
gesucht
der Wert f(2)
- Von der Stelle senkrecht zum Graphen
- Waagrecht zur y-Achse: f(2) = −2
Rechnen
f(2) = 0.2 · 24 −
1.5 · 22 + 0.8 =
3.2 − 6 + 0.8 = −2
Genau eine Antwort: Zu einer Stelle gehört (sofern definiert) genau ein Wert.
f(2) = −2
Wo ist der Wert …?
Gegeben y, gesucht x
Wo ist der Wert −1?
gegeben
der Wert y = −1
gesucht
alle Stellen x mit f(x) = −1
- Waagrechte Gerade y = −1 einzeichnen
- Schnittpunkte mit dem Graphen suchen
- Senkrecht zur x-Achse: Stellen ablesen
x1 ≈ −2.4
x2 ≈ −1.2
x3 ≈ 1.2
x4 ≈ 2.4
y = −1
≈ −2.4
≈ −1.2
≈ 1.2
≈ 2.4
Wo ist der Wert …?
Wie viele Stellen gibt es?
WertStellen (gerundet)Anzahl
−1
−2.4, −1.2, 1.2, 2.4
4
−3
–keine
4
−3.0, 3.02
0.8
−2.7, 0, 2.73
Zu einem Wert kann es keine, eine oder mehrere Stellen geben.
kein Schnittpunkt
Zwei Fragen
Wie viel? und Wo? im Vergleich
Wie viel?gesucht ist ein Wert
Wo?gesucht sind Stellen
Frage
Wie viel ist der Wert an der Stelle 2?
Wo ist der Wert −1?
Gegeben
eine Stelle x
ein Wert y
Antworten
genau eine (sofern definiert)
keine, eine oder mehrere
Rechnen
einsetzen
Gleichung lösen – oft schwierig
Am Graphen
senkrecht zum Graphen, waagrecht zur y-Achse
waagrecht zum Graphen, senkrecht zur x-Achse
Im Beispiel
f(2) = −2
x ≈ −2.4, −1.2, 1.2, 2.4
Mehr am Graphen
Was man sonst noch abliest
DDefinitionsbereich
Für welche x gibt es einen Wert?
Wo gibt es den Graphen? Auf der x-Achse ablesen.
WWertebereich
Welche Werte kommen vor?
Welche Höhen erreicht der Graph? Auf der y-Achse ablesen.
f(−x) = f(x)Symmetrie
Gleich hoch bei x und −x?
Dann ist der Graph symmetrisch zur y-Achse.
x → ∞Verhalten
Was passiert, wenn x immer grösser wird?
Den Graphen nach rechts verfolgen.
3
Aufgaben
Zusammen oder selbst – die Antworten kommen Klick für Klick.
Zusammen oder selbst
Aufgabe 1
x = 0
≈ 2.4
y = 3
y = −1: kein Schnittpunkt
aWo ist die Nullstelle?
x = 0
bf(−2) = ?
f(−2) ≈ 2.4
cWert für x → ∞?
Die Werte nähern sich 3, erreichen 3 aber nie.
dFür welches x ist der Wert −1?
Für keines: Der Graph liegt nie unter der x-Achse.
Zusammen oder selbst
Aufgabe 2
≈ 0.6
x ≈ −1.9
x ≈ 2.1
aWas ist der Definitionsbereich?
Bei x = −2
und x = 2 gibt es keinen Wert:
D = ℝ \ {−2, 2}
bWelchen Output ergibt der Input 3?
Input = Stelle, Output = Wert:
f(3) ≈ 0.6
cy = 5 wird für welche x erreicht?
x ≈ −1.9
und x ≈ 2.1
dWo ist der Wert 0?
x = 0
Zusammen oder selbst
Aufgabe 3
f(0) = 1
nähert sich 0
nur bei x = 0
aGilt f(x) = f(−x)?
Ja: Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
bWie gross ist der Wert an der Stelle 0?
f(0) = 1
cWert für x → ∞?
Die Werte nähern sich 0, erreichen 0 aber nie.
dFür welches x ist y = 1?
Nur für x = 0.
Zusammen oder selbst
Aufgabe 4
≈ −3.8
aWas ist der Wertebereich?
Alle Werte von −4 bis 4:
−4 ≤ y ≤ 4
bf(5) = ?
f(5) ≈ −3.8
cf(x) = 1: x = ?
Im Bild fünf Stellen:
x ≈ −6.0, −3.4, 0.3, 2.9, 6.5
dWelches ist der grösste y-Wert, der vorkommt? Wo ist das?
4, im Bild an den Stellen
x ≈ −4.7 und x ≈ 1.6
Zusammen oder selbst
Aufgabe 5
f(x) = x
x = 0
af(9) = ? f(4) = ? f(1) = ?
f(9) = 3, f(4) = 2, f(1) = 1
bf(x) = ?
f(x) = x, die Wurzelfunktion
cWo ist die Nullstelle?
x = 0
dWert für x → ∞?
Die Werte werden beliebig gross – aber immer langsamer.
eD = ?
x ≥ 0, also
D = ℝ+0:
Links von 0 gibt es keinen Graphen.
Ablesen bei Funktionen
Auf einen Blick
Nullstelle
eine Stelle x mit f(x) = 0 – dort trifft der Graph die x-Achse
y-Achsenabschnitt
der Wert f(0) – 0 einsetzen
Wie viel?
gegeben eine Stelle, gesucht der Wert: genau eine Antwort
Wo?
gegeben ein Wert, gesucht die Stellen: keine, eine oder mehrere
≈
Abgelesen ist gerundet.
Viel Erfolg!