Von der Grundformel zur Regel
Ableitungsregeln
Potenzregel · Faktorregel · Summenregel · Spezialfälle
Übersicht
Inhalt
- Startbeispiele – Polynome
- Ableitungsregel für Potenzen
- Ableitung von Konstanten
- Ableitungsregel konstante Faktoren
- Ableitungsregel Summen
- Erweiterte Ableitungsregel für Potenzen
01
Startbeispiele
Startbeispiel
Polynome
f(x) =
3x5 − 0.5x4
+ 3x2 − 1
f′(x) =
15x4 − 2x3
+ 6x
Startbeispiel
Polynome
f(x) =
x7 − x6
+ 2x5 −
14x4
− 3x + 1
f′(x) =
7x6
− 6x5
+ 10x4
− x3
− 3
02
Die Potenzregel
Ableitung der Potenzfunktion
Das Ziel
Mit der Grundformel die allgemeine Ableitung von xn herleiten.
f′(x) =
limh → 0
f(x + h) − f(x)h
Zur Erinnerung
f(x) = x2
f′(x) =
limh → 0
f(x + h) − f(x)h
=
limh → 0
(x + h)2 − x2h
=
limh → 0
x2 + 2xh + h2 − x2h
=
limh → 0
h · (2x + h)h
=
limh → 0
2x + h
=
2x
Zur Erinnerung
f(x) = x3
limh → 0
(x + h)3 − x3h
=
limh → 0
x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 − x3h
=
limh → 0
h · (3x2 + 3xh + h2)h
=
limh → 0
3x2 + 3xh + h2
=
3x2
Wir studieren
f(x) = x4
limh → 0
(x + h)4 − x4h
=
limh → 0
x4 + 4x3h + 6x2h2 + 4xh3 + h4 − x4h
=
limh → 0
h · (4x3 + 6x2h + 4xh2 + h3)h
=
limh → 0
4x3 + 6x2h + 4xh2 + h3
=
4x3
Drei Rechnungen, ein Muster
Was fällt auf?
x2
→
2x
x3
→
3x2
x4
→
4x3
xn
→
n · xn−1
Herleitung · Schritt 1
Ableitung von f(x) = xn
f′(x) =
limh → 0
f(x + h) − f(x)h
=
limh → 0
(x + h)n − xnh
Den Grenzwert lassen wir kurz weg und multiplizieren aus:
xn + n · xn−1h + Zahl · xn−2h2 + … + n · xhn−1 + hn − xnh
Herleitung · Schritt 2
Ableitung von f(x) = xn
xn + n · xn−1h + Zahl · xn−2h2 + … + n · xhn−1 + hn − xnh
xn wegstreichen, h ausklammern:
h · (n · xn−1 + Zahl · xn−2h + … + nxhn−2 + hn−1)h
Herleitung · Schritt 3
Ableitung von f(x) = xn
h · (n · xn−1 + Zahl · xn−2h + … + nxhn−2 + hn−1)h
h kürzen – der Nenner verschwindet.
Es bleibt der Inhalt der Klammer:
n · xn−1
+ Zahl · xn−2h
+ …
+ nxhn−2
+ hn−1
Herleitung · Schritt 4
Ableitung von f(x) = xn
f′(x) =
limh → 0
( n · xn−1
+ Zahl · xn−2h
+ …
+ nxhn−2
+ hn−1 )
Jetzt darf h gegen Null gehen. Alle Terme nach n · xn−1
tragen noch mindestens ein h – sie werden Null.
f′(x) = n · xn−1
Erste Regel
Die Potenzregel
f(x) = xn
→
f′(x) = n · xn−1
Damit lassen sich alle Potenzfunktionen ohne Grundformel ableiten.
03
Einfluss der Konstanten
Zwei Fragen
Einfluss der Konstanten
- Auf welche Arten kann eine Funktion mit einer Konstanten verändert werden?
- Wie wirkt sich das auf die Ableitung aus?
Multiplikation
c · f(x)
Addition
f(x) + c
Faktorregel
Was macht ein Faktor mit der Steigung?
g(x) = c · f(x)
stauchen, strecken der Funktion
f(x) = x2
g(x) = 3x2
Einfluss auf die Steigung?
Steigung auch 3-mal so gross
Faktorregel · Beweis mit der Grundformel
Faktorregel
g(x) = c · f(x)
→
g′(x) = c · f′(x)
g′(x) =
limh → 0
g(x + h) − g(x)h
=
limh → 0
c · f(x + h) − c · f(x)h
= c ·
limh → 0
f(x + h) − f(x)h
= c · f′(x)
Addierte Konstanten
Was macht ein Summand mit der Steigung?
g(x) = f(x) + c
Verschiebung in y-Richtung
f(x) = x2
g(x) = x2 + 3
Einfluss auf die Steigung?
Die Steigung bleibt gleich
Addierte Konstanten · Beweis mit der Grundformel
Addierte Konstanten
g(x) = f(x) + c
→
g′(x) = f′(x)
g′(x) =
limh → 0
g(x + h) − g(x)h
=
limh → 0
f(x + h) + c − (f(x) + c)h
=
limh → 0
f(x + h) − f(x)h
= f′(x)
Summenregel · Beweis mit der Grundformel
Summen
f(x) = u(x) + v(x)
→
f′(x) = u′(x) + v′(x)
f′(x) =
limh → 0
u(x + h) + v(x + h) − u(x) − v(x)h
=
limh → 0
u(x + h) − u(x)h
+
v(x + h) − v(x)h
= u′(x) + v′(x)
Vier Regeln
Formeln im Überblick
f(x) = xn
→
f′(x) = n · xn−1
g(x) = c · f(x)
→
g′(x) = c · f′(x)
g(x) = f(x) + c
→
g′(x) = f′(x)
f(x) = u(x) ± v(x)
→
f′(x) = u′(x) ± v′(x)
Zwei Spezialfälle
Konstante und Gerade
Beispiel: f(x) = 2
f(x) = c →
f′(x) = 0
Beispiel: f(x) = 0.5x + 1
Beispiel: f(x) = −3x − 1
f(x) = ax + b →
f′(x) = a
04
Jetzt ohne Grundformel
Polynom
Das Startbeispiel – noch einmal
f(x) =
3x5 − 0.5x4
+ 3x2 − 1
f′(x) =
15x4 − 2x3
+ 6x
Potenzregel + Faktorregel + Summenregel
Aufgabe
Selber ableiten
f(x) =
4x7 −
15x5
− 4x2 + 7
f′(x) =
28x6 − x4
− 8x
05
Potenzregel – Erweiterung
Potenzformel · Erweiterung
Brüche
f(x) =
1x
=
x−1
f′(x) = −1 · x−2
= −
1x2
Potenzformel · Erweiterung
Wurzeln
f(x) =
x
=
x12
f′(x) =
12
· x−12
=
12x
Aufgabe 1 von 3
Zuerst als Potenz schreiben
f(x) =
2x2
=
2 · x−2
f′(x) = 2 · (−2) x−3
= −4x−3
= −
4x3
Aufgabe 2 von 3
Zuerst als Potenz schreiben
f(x) =
−3x3
=
−3 · x−3
f′(x) = −3 · (−3) x−4
= 9x−4
=
9x4
Aufgabe 3 von 3
Zuerst als Potenz schreiben
f(x) = 2
3x
=
2 · x13
f′(x) = 2 ·
13
x−23
=
23
x−23
=
23
3x2
Üben
Acht zum Selberrechnen
a) f(x) = x5 − 3x2 + 4
b) f(x) = 1 +
1x2
c) f(x) = 2
x
+ 3x2
d) f(x) = 0.5x4 − 2x3 + x
e) f(x) = 5x3 +
3x
f) f(x) = −x4 + 6
x
g) f(x) =
2x3
− 7
h) f(x) = 0.5x6 −
4x2
Üben · Lösungen
Acht zum Selberrechnen
a) x5 − 3x2 + 4
→
5x4 − 6x
b) 1 +
1x2
→
−
2x3
c) 2
x
+ 3x2
→
1x
+ 6x
d) 0.5x4 − 2x3 + x
→
2x3 − 6x2 + 1
e) 5x3 +
3x
→
15x2 −
3x2
f) −x4 + 6
x
→
−4x3 +
3x
g)
2x3
− 7
→
−
6x4
h) 0.5x6 −
4x2
→
3x5 +
8x3
Alle Regeln im Überblick
f(x) = xn
→
f′(x) = n · xn−1
g(x) = c · f(x)
→
g′(x) = c · f′(x)
g(x) = f(x) + c
→
g′(x) = f′(x)
f(x) = u(x) ± v(x)
→
f′(x) = u′(x) ± v′(x)
f(x) = c
→
f′(x) = 0
f(x) = ax + b
→
f′(x) = a
Viel Erfolg beim Üben!
